(1) $(2x-3)^4$ の展開式における $x^3$ の項の係数を求めよ。 (2) $(a+b+c)^7$ の展開式における $a^2b^2c^3$ の項の係数を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $(2x-3)^4$ の展開式における $x^3$ の項の係数を求めよ。

(2) $(a+b+c)^7$ の展開式における $a^2b^2c^3$ の項の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 二項定理を用いて $(2x-3)^4$ を展開する。一般項は

$${}_4 C_k (2x)^k (-3)^{4-k}$$

$x^3$ の項の係数を求めるので、$k=3$ を代入すると

$${}_4 C_3 (2x)^3 (-3)^{4-3} = {}_4 C_3 (2x)^3 (-3)^1 = 4 \cdot 8x^3 \cdot (-3) = -96x^3$$

したがって、$x^3$ の係数は $-96$ である。

(2) 多項定理を用いて $(a+b+c)^7$ を展開する。一般項は

$$\frac{7!}{p!q!r!} a^p b^q c^r$$

ただし、$p+q+r=7$。

$a^2b^2c^3$ の項の係数を求めるので、$p=2$, $q=2$, $r=3$ を代入すると

$$\frac{7!}{2!2!3!} a^2 b^2 c^3 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} a^2 b^2 c^3 = \frac{5040}{24} a^2 b^2 c^3 = 210 a^2 b^2 c^3$$

したがって、$a^2b^2c^3$ の係数は $210$ である。

3. 最終的な答え

(1) $-96$

(2) $210$