$m$ を定数とする。2次方程式 $x^2 + (m+1)x + 4 = 0$ の解の種類に応じて、$m$ の値または $m$ の値の範囲を求める問題です。具体的には、 (1) 異なる2つの実数解を持つとき、$m$ の値の範囲を求める。 (2) 重解を持つとき、$m$ の値を求める。 (3) 異なる2つの虚数解を持つとき、$m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$m$ を定数とする。2次方程式 $x^2 + (m+1)x + 4 = 0$ の解の種類に応じて、$m$ の値または $m$ の値の範囲を求める問題です。具体的には、

(1) 異なる2つの実数解を持つとき、$m$ の値の範囲を求める。

(2) 重解を持つとき、$m$ の値を求める。

(3) 異なる2つの虚数解を持つとき、$m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式の判別式を $D$ とすると、$D = (m+1)^2 - 4(1)(4) = (m+1)^2 - 16$ となります。

(1) 異なる2つの実数解を持つ条件は、$D > 0$ であること。

$(m+1)^2 - 16 > 0$

$(m+1)^2 > 16$

$m+1 > 4$ または $m+1 < -4$

$m > 3$ または $m < -5$

(2) 重解を持つ条件は、$D = 0$ であること。

$(m+1)^2 - 16 = 0$

$(m+1)^2 = 16$

$m+1 = 4$ または $m+1 = -4$

$m = 3$ または $m = -5$

(3) 異なる2つの虚数解を持つ条件は、$D < 0$ であること。

$(m+1)^2 - 16 < 0$

$(m+1)^2 < 16$

$-4 < m+1 < 4$

$-5 < m < 3$

3. 最終的な答え

(1) 異なる2つの実数解を持つとき: $m < -5$ または $m > 3$

(2) 重解を持つとき: $m = -5$ または $m = 3$

(3) 異なる2つの虚数解を持つとき: $-5 < m < 3$