次の条件を満たす多項式 $A$ と $B$ を求めます。 * (1) 多項式 $A$ を $x^2 - 2x - 1$ で割ると、商が $2x - 3$ で余りが $-2x$ になります。 * (2) 多項式 $6x^4 + 7x^3 - 9x^2 - x + 3$ を多項式 $B$ で割ると、商が $2x^2 + x - 3$ で余りが $6x$ になります。

1. 問題の内容

次の条件を満たす多項式 $A$ と $B$ を求めます。

* (1) 多項式 $A$ を $x^2 - 2x - 1$ で割ると、商が $2x - 3$ で余りが $-2x$ になります。

* (2) 多項式 $6x^4 + 7x^3 - 9x^2 - x + 3$ を多項式 $B$ で割ると、商が $2x^2 + x - 3$ で余りが $6x$ になります。

2. 解き方の手順

* (1) $A$ を求める。

$A$ は、$(x^2 - 2x - 1)$ で割ると、商が $2x - 3$ で余りが $-2x$ なので、次の式で表されます。

$A = (x^2 - 2x - 1)(2x - 3) + (-2x)$

この式を展開して整理します。

$A = 2x^3 - 4x^2 - 2x - 3x^2 + 6x + 3 - 2x$

$A = 2x^3 - 7x^2 + 2x + 3$

* (2) $B$ を求める。

$6x^4 + 7x^3 - 9x^2 - x + 3$ を $B$ で割ると、商が $2x^2 + x - 3$ で余りが $6x$ なので、次の式が成り立ちます。

$6x^4 + 7x^3 - 9x^2 - x + 3 = B(2x^2 + x - 3) + 6x$

この式を変形して $B$ について解きます。

$B(2x^2 + x - 3) = 6x^4 + 7x^3 - 9x^2 - x + 3 - 6x$

$B(2x^2 + x - 3) = 6x^4 + 7x^3 - 9x^2 - 7x + 3$

$B = \frac{6x^4 + 7x^3 - 9x^2 - 7x + 3}{2x^2 + x - 3}$

多項式の割り算を実行します。

```

3x^2 + 2x - 1

2x^2+x-3 | 6x^4 + 7x^3 - 9x^2 - 7x + 3

-(6x^4 + 3x^3 - 9x^2)

-----------------------

4x^3 - 7x + 3

-(4x^3 + 2x^2 - 6x)

-----------------------

-2x^2 - x + 3

-(-2x^2 - x + 3)

-----------------------

0

```

したがって、$B = 3x^2 + 2x - 1$

3. 最終的な答え

$A = 2x^3 - 7x^2 + 2x + 3$

$B = 3x^2 + 2x - 1$