与えられた2つの数列の一般項を求める問題です。 (1) $2, 10, 24, 44, 70, 102, 140, ...$ (2) $3, 4, 7, 16, 43, 124, ...$

1. 問題の内容

与えられた2つの数列の一般項を求める問題です。

(1) $2, 10, 24, 44, 70, 102, 140, ...$

(2) $3, 4, 7, 16, 43, 124, ...$

2. 解き方の手順

(1) の数列について考えます。

階差数列を求めてみます。

$10 - 2 = 8$

$24 - 10 = 14$

$44 - 24 = 20$

$70 - 44 = 26$

$102 - 70 = 32$

$140 - 102 = 38$

階差数列は $8, 14, 20, 26, 32, 38, ...$ となります。

この階差数列は等差数列で、公差は $6$ です。

したがって、元の数列は階差数列が等差数列になる数列なので、一般項は $n$ の2次式で表されます。

一般項を $an^2 + bn + c$ とおきます。

$n = 1$ のとき $a + b + c = 2$

$n = 2$ のとき $4a + 2b + c = 10$

$n = 3$ のとき $9a + 3b + c = 24$

上記の連立方程式を解きます。

$3a + b = 8$

$5a + b = 14$

$2a = 6$ より $a = 3$

$b = 8 - 3a = 8 - 9 = -1$

$c = 2 - a - b = 2 - 3 + 1 = 0$

したがって、一般項は $3n^2 - n$ となります。

(2) の数列について考えます。

階差数列を求めてみます。

$4 - 3 = 1$

$7 - 4 = 3$

$16 - 7 = 9$

$43 - 16 = 27$

$124 - 43 = 81$

階差数列は $1, 3, 9, 27, 81, ...$ となります。

この階差数列は公比 $3$ の等比数列です。

したがって、階差数列の一般項は $3^{n-1}$ です。

元の数列の一般項 $a_n$ は、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-1} = 3 + \sum_{k=0}^{n-2} 3^{k}$

$\sum_{k=0}^{n-2} 3^{k} = \frac{1 - 3^{n-1}}{1 - 3} = \frac{3^{n-1} - 1}{2}$

$a_n = 3 + \frac{3^{n-1} - 1}{2} = \frac{6 + 3^{n-1} - 1}{2} = \frac{3^{n-1} + 5}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $3n^2 - n$

(2) $\frac{3^{n-1} + 5}{2}$