与えられた2つの2次式を、複素数の範囲で因数分解します。 (1) $x^2 - 2x - 1$ (2) $2x^2 - 2x + 3$

1. 問題の内容

与えられた2つの2次式を、複素数の範囲で因数分解します。

(1) $x^2 - 2x - 1$

(2) $2x^2 - 2x + 3$

2. 解き方の手順

2次式を因数分解するには、まず解の公式を使って解を求めます。2次式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解は次の公式で求められます。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

求めた解を $\alpha$, $\beta$ とすると、$ax^2 + bx + c$ は $a(x - \alpha)(x - \beta)$ と因数分解できます。

(1) $x^2 - 2x - 1 = 0$ の場合：

$a = 1$, $b = -2$, $c = -1$ なので、解の公式より

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

したがって、解は $1 + \sqrt{2}$ と $1 - \sqrt{2}$ です。よって、因数分解は $(x - (1 + \sqrt{2}))(x - (1 - \sqrt{2}))$ となります。

(2) $2x^2 - 2x + 3 = 0$ の場合：

$a = 2$, $b = -2$, $c = 3$ なので、解の公式より

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(2)(3)}}{2(2)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{-20}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}i}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{5}i}{2}$

したがって、解は $\frac{1 + \sqrt{5}i}{2}$ と $\frac{1 - \sqrt{5}i}{2}$ です。よって、因数分解は $2(x - (\frac{1 + \sqrt{5}i}{2}))(x - (\frac{1 - \sqrt{5}i}{2}))$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $(x - (1 + \sqrt{2}))(x - (1 - \sqrt{2}))$

(2) $2(x - (\frac{1 + \sqrt{5}i}{2}))(x - (\frac{1 - \sqrt{5}i}{2}))$