不等式 $\log_2(2y) - \log_2 x < \log_x x^4 \cdot \log_x \frac{x}{y}$ を満たす $x, y$ の条件について考える問題です。真数条件、対数の性質、変形などを用いて、$xy$ 平面上に不等式の表す領域を図示します。

1. 問題の内容

不等式 $\log_2(2y) - \log_2 x < \log_x x^4 \cdot \log_x \frac{x}{y}$ を満たす $x, y$ の条件について考える問題です。真数条件、対数の性質、変形などを用いて、$xy$ 平面上に不等式の表す領域を図示します。

2. 解き方の手順

(1) 真数条件から $x > 0$ かつ $y > 0$ である。（キの解答）

(2) $X = \log_2 x$, $Y = \log_2 y$ とおく。

不等式の左辺は $\log_2(2y) - \log_2 x = \log_2(2y/x) = \log_2 2 + \log_2 y - \log_2 x = 1 + Y - X$となる。（クの解答）

(3) 不等式の右辺は $\log_x x^4 \cdot \log_x \frac{x}{y} = 4 \cdot (\log_x x - \log_x y) = 4 \cdot (1 - \log_x y)$となる。

$\log_x y = \frac{\log_2 y}{\log_2 x} = \frac{Y}{X}$ なので、$4(1-\frac{Y}{X}) = 4 - \frac{4Y}{X}$となる。（ケの解答）

(4) 与えられた不等式は $1 + Y - X < 4 - \frac{4Y}{X}$ となる。

整理すると $Y + \frac{4Y}{X} < 3 + X$。 両辺に $X$ を掛けると $XY + 4Y < 3X + X^2$。

よって $Y(X + 4) < X^2 + 3X$ となる。

$X > 0$ より $X+4 > 0$ なので、 $Y < \frac{X^2 + 3X}{X+4}$となる。

領域を図示すると、放物線 $Y = \frac{X^2+3X}{X+4}$の下側となる。ただし、$x>0, y>0$ より $X = \log_2 x, Y = \log_2 y$ であることを考慮すると、$X > -\infty, Y>-\infty$となる。

選択肢を検討すると、図は⑤となる。（サの解答）

※ $Y < \frac{X^2+3X}{X+4} = \frac{X(X+3)}{X+4}$ であるので、適切な図を選択する必要がある。

3. 最終的な答え

キ：②

ク：①

ケ：③

コ：なし（変形した不等式 $Y < \frac{X^2 + 3X}{X+4}$ で解答）

サ：⑤