問題文より、$n$を自然数とする。表1のように自然数を規則に従って並べる。 第1行には、3で割り切れない自然数を小さい順に左から並べる。 第2行には、3で割り切れるが9では割り切れない自然数を小さい順に左から並べる。 第$n$行には、3$^{n-1}$で割り切れるが3$^n$では割り切れない自然数を小さい順に左から並べる。 (1)第1列に着目する。第$n$行第1列の数を$a_n$とすると、$a_1$と数列{$a_n$}の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ。

1. 問題の内容

問題文より、$n$を自然数とする。表1のように自然数を規則に従って並べる。

第1行には、3で割り切れない自然数を小さい順に左から並べる。

第2行には、3で割り切れるが9では割り切れない自然数を小さい順に左から並べる。

第$n$行には、3$^{n-1}$で割り切れるが3$^n$では割り切れない自然数を小さい順に左から並べる。

(1)第1列に着目する。第$n$行第1列の数を$a_n$とすると、$a_1$と数列{$a_n$}の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$a_1, a_2, a_3, ...$ を具体的に書き出す。

第1行の第1列は1なので、$a_1 = 1$。

第2行の第1列は3なので、$a_2 = 3$。

第3行の第1列は9なので、$a_3 = 9$。

第4行の第1列は27なので、$a_4 = 27$。

よって、$a_n = 3^{n-1}$であると予想できる。

これは、初項1、公比3の等比数列である。

次に、$S_n$を求める。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} 3^{k-1}$

これは初項1、公比3の等比数列の和であるから、

$S_n = \frac{1(3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3^n - 1}{2}$

3. 最終的な答え

$a_1 = 1$

$S_n = \frac{3^n - 1}{2}$