与えられた多項式 $x^2 - 2xy + 4x - 2y + 3$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $x^2 - 2xy + 4x - 2y + 3$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$x^2 + (-2y + 4)x + (-2y + 3)$

次に、たすき掛けによる因数分解を試みます。

$x^2 + (-2y + 4)x -2y + 3 = (x + a)(x + b)$ とおくと、

$a + b = -2y + 4$

$ab = -2y + 3$

となるような $a, b$ を探します。

しかし、この方法ではうまくいきません。

そこで、別の方法を試みます。多項式をよく見ると、$x$ と $y$ の項が含まれています。$x^2 - 2xy + 4x - 2y + 3$ を $x$ の二次式と見て平方完成を試みます。

$x^2 - 2(y-2)x - 2y + 3$

$(x - (y-2))^2 - (y-2)^2 - 2y + 3$

$(x - y + 2)^2 - (y^2 - 4y + 4) - 2y + 3$

$(x - y + 2)^2 - y^2 + 4y - 4 - 2y + 3$

$(x - y + 2)^2 - y^2 + 2y - 1$

$(x - y + 2)^2 - (y^2 - 2y + 1)$

$(x - y + 2)^2 - (y - 1)^2$

ここで、$A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ の公式を用いると、

$(x - y + 2 + (y - 1))(x - y + 2 - (y - 1))$

$(x - y + 2 + y - 1)(x - y + 2 - y + 1)$

$(x + 1)(x - 2y + 3)$

3. 最終的な答え

$(x + 1)(x - 2y + 3)$