自然数を、ある規則に従って表に並べる問題です。第1行には3で割り切れない自然数、第2行には3で割り切れるが9で割り切れない自然数、以下同様の規則で並べます。そして、第1行のn番目の数を$b_n$とし、$T_m = \sum_{i=1}^{m} b_{2i}$を求める問題です。

1. 問題の内容

自然数を、ある規則に従って表に並べる問題です。第1行には3で割り切れない自然数、第2行には3で割り切れるが9で割り切れない自然数、以下同様の規則で並べます。そして、第1行のn番目の数を$b_n$とし、$T_m = \sum_{i=1}^{m} b_{2i}$を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$b_{2i-1} =$ カ $- i$、$b_{2i} =$ カラーク となるように、カとクを求めます。第1行は3で割り切れない自然数を並べているので、数列$\{b_n\}$は、$3k-2$と$3k-1$の形の自然数が並んでいます。したがって、

$b_{2i-1} = 3i - 2$

$b_{2i} = 3i - 1$

となるので、カ = 3、ク = 1となります。

したがって、$T_{2m} = \sum_{i=1}^{m} (3i-1) = \sum_{i=1}^{m} (3i-1)$となります。

$T_{2m} = \sum_{i=1}^{m} (3i-1) = 3 \sum_{i=1}^{m} i - \sum_{i=1}^{m} 1 = 3 \cdot \frac{m(m+1)}{2} - m = \frac{3m^2 + 3m}{2} - \frac{2m}{2} = \frac{3m^2+m}{2}$

よって、ケ = $\frac{3m^2+m}{2}$。

次に、花子さんの求め方で考えます。

$m$以下のすべての自然数の和は、$\frac{m(m+1)}{2}$ であり、$m$以下の自然数のうち3の倍数であるものの和は、$3 \cdot \frac{ \lfloor m/3 \rfloor (\lfloor m/3 \rfloor +1 ) }{2}$と表せます。$\lfloor m/3 \rfloor$は$m/3$の整数部分を表します。

よって、

コ = $\frac{m(m+1)}{2}$

シ = $3 \cdot \frac{ \lfloor m/3 \rfloor (\lfloor m/3 \rfloor +1 ) }{2}$

3. 最終的な答え

カ = 3

ク = 1

ケ = $\frac{3m^2+m}{2}$

コ = $\frac{m(m+1)}{2}$

シ = $3 \cdot \frac{ \lfloor m/3 \rfloor (\lfloor m/3 \rfloor +1 ) }{2}$