不等式 $|x-3| + |y-3| \le 2$ で表される領域をDとする。 (1) 領域Dを座標平面上に図示せよ。 (2) 点 $(x, y)$ が領域Dを動くとき、$x^2 + y^2 - 4x - 2y$ の最大値を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

不等式 $|x-3| + |y-3| \le 2$ で表される領域をDとする。

(1) 領域Dを座標平面上に図示せよ。

(2) 点 $(x, y)$ が領域Dを動くとき、$x^2 + y^2 - 4x - 2y$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 領域Dの図示

不等式 $|x-3| + |y-3| \le 2$ を場合分けして考える。

(i) $x \ge 3, y \ge 3$ のとき

$x-3 + y-3 \le 2$ より、$y \le -x + 8$

(ii) $x \ge 3, y < 3$ のとき

$x-3 - (y-3) \le 2$ より、$y \ge x-2$

(iii) $x < 3, y \ge 3$ のとき

$-(x-3) + y-3 \le 2$ より、$y \le x + 2$

(iv) $x < 3, y < 3$ のとき

$-(x-3) - (y-3) \le 2$ より、$y \ge -x + 4$

これらの不等式と、各場合分けの条件を満たす領域を図示する。領域Dは、これらの領域を合わせたものになる。具体的には、頂点が(1,3), (3,1), (5,3), (3,5)である正方形の内部および周上になる。

(2) $x^2 + y^2 - 4x - 2y$ の最大値の計算

$x^2 + y^2 - 4x - 2y$ を変形する。

$x^2 - 4x + y^2 - 2y = (x-2)^2 + (y-1)^2 - 5$

$k = x^2 + y^2 - 4x - 2y$と置くと、

$(x-2)^2 + (y-1)^2 = k+5$

これは中心が $(2,1)$、半径が $\sqrt{k+5}$ の円を表す。

この円が領域Dと共有点を持つようなkの最大値を求める。

領域Dの頂点と円の中心 $(2,1)$ の距離を考える。

頂点 $(5,3)$ と $(2,1)$ の距離は $\sqrt{(5-2)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{3^2+2^2} = \sqrt{13}$

頂点 $(1,3)$ と $(2,1)$ の距離は $\sqrt{(1-2)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$

頂点 $(3,5)$ と $(2,1)$ の距離は $\sqrt{(3-2)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{1+16} = \sqrt{17}$

頂点 $(3,1)$ と $(2,1)$ の距離は 1

$(2,1)$ から最も遠い頂点は $(3,5)$ で、その距離は $\sqrt{17}$である。

したがって、円の半径が $\sqrt{17}$ のとき、円は領域Dと共有点を持つ。

$\sqrt{k+5} = \sqrt{17}$ より、$k+5 = 17$, $k = 12$

最大値は12となる。

3. 最終的な答え

領域Dは、頂点が(1,3), (3,1), (5,3), (3,5)である正方形の内部および周上。

$x^2 + y^2 - 4x - 2y$ の最大値は12。