6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5のうちの異なる5個を並べて5桁の整数を作るとき、次の整数の個数を求めます。 (1) 5桁の整数 (2) 5桁の奇数 (3) 5桁の偶数

1. 問題の内容

6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5のうちの異なる5個を並べて5桁の整数を作るとき、次の整数の個数を求めます。

(1) 5桁の整数

(2) 5桁の奇数

(3) 5桁の偶数

2. 解き方の手順

(1) 5桁の整数

5桁の整数を作るためには、一番左の桁に0が来てはいけません。

まず、千の位以外の4つの桁に数字を配置する方法を考えます。

千の位以外の4つの桁には、0を含む6個の数字から任意の4個を選んで並べることができます。これは $6P4 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$ 通りです。

次に、千の位に数字を配置する方法を考えます。

千の位には、0以外の5個の数字のいずれかを配置できます。これは5通りです。

したがって、5桁の整数の総数は $5 \times (5 \times 4 \times 3 \times 2) = 5 \times 120$ 通りではありません。

まず、千の位に0以外の数字を入れる方法を考えます。

千の位に入れる数字は0以外の5個の数字から選ぶので5通りです。

残りの4桁には、残りの5個の数字から4個を選んで並べるので、$5P4 = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$ 通りです。

したがって、5桁の整数の個数は $5 \times 120 = 600$ 通りではありません。

5桁の整数の作り方は、まずすべての並べ方を求めて、そこから一番左の数字が0であるものを引く方法があります。

6個の数字から5個を選んで並べる方法は $6P5 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 720$ 通りです。

一番左の数字が0である並べ方は、$5P4 = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$ 通りです。

したがって、5桁の整数の個数は $720 - 120 = 600$ 通りです。

(2) 5桁の奇数

5桁の奇数を作るには、一番右の桁に奇数が入る必要があります。奇数は1, 3, 5の3つです。

一番右の桁に奇数を入れる方法は3通りあります。

一番左の桁には0は入れられません。

(i) 一番右の桁に奇数を入れた場合、一番左の桁に0が入らないようにする。

まず、一番右の桁に奇数を入れる方法は3通りです。

次に、一番左の桁に0が入らないようにする必要があります。

一番左の桁に入れる数は、0と、すでに使った奇数以外の4個の数字から選びます。

もし一番右の桁に奇数を入れたとき、一番左の桁が奇数である場合と、偶数である場合で場合分けをします。

一番右の桁に入れる奇数を固定した場合、残りの5個の数字から4個を選んで残りの4桁に並べることになります。

千の位が0でない場合を考えます。千の位が0である場合は、計算が複雑になります。

まず、5桁の整数の総数は600通りです。

奇数になるのは、1の位が1, 3, 5のどれかになる場合です。

1の位が1の場合、残りの4桁は0, 2, 3, 4, 5から選びます。

千の位に0は入れられないので、千の位は4通り。百の位は4通り、十の位は3通り、千の位は2通りなので、 $4 \times 4 \times 3 \times 2 = 96$

1の位が3, 5の場合も同様に96通りなので、$96 \times 3 = 288$ 通り

(3) 5桁の偶数

5桁の偶数を作るには、一番右の桁に偶数が入る必要があります。偶数は0, 2, 4の3つです。

1の位が0の場合、残りの4桁は1, 2, 3, 4, 5から選びます。

千の位は5通り、百の位は4通り、十の位は3通り、千の位は2通りなので、 $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$ 通り

1の位が2, 4の場合、残りの4桁は0, 1, 3, 4, 5から選びます。

千の位に0は入れられないので、千の位は4通り。百の位は4通り、十の位は3通り、千の位は2通りなので、 $4 \times 4 \times 3 \times 2 = 96$

1の位が4の場合も同様に96通りなので、$96 \times 2 = 192$ 通り

したがって、5桁の偶数の個数は $120 + 192 = 312$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 5桁の整数: 600個

(2) 5桁の奇数: 288個

(3) 5桁の偶数: 312個