問題は、与えられた9つの関数を積分または微分を求める問題と思われます。しかし、問題文が不完全であり、どの関数に対してどのような操作（積分、微分など）を行うべきかが明確ではありません。ここでは、各関数を積分する場合と微分する場合について考察します。

1. 問題の内容

問題は、与えられた9つの関数を積分または微分を求める問題と思われます。しかし、問題文が不完全であり、どの関数に対してどのような操作（積分、微分など）を行うべきかが明確ではありません。ここでは、各関数を積分する場合と微分する場合について考察します。

2. 解き方の手順

各関数に対して、積分と微分を計算する手順を説明します。

(1) $x^n e^x$

* 積分: 部分積分を繰り返し行う必要があります。

* 微分: 積の微分法を用いる。

$\frac{d}{dx}(x^n e^x) = nx^{n-1}e^x + x^n e^x = e^x(x^n + nx^{n-1})$

(2) $(x+1)\sqrt{x}$

* 積分: $x^{3/2} + x^{1/2}$ として積分する。

* 微分: 積の微分法を用いる。

$\frac{d}{dx}((x+1)\sqrt{x}) = \sqrt{x} + (x+1)\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{2x + x+1}{2\sqrt{x}} = \frac{3x+1}{2\sqrt{x}}$

(3) $e^x (\sin x + \cos x)$

* 積分: 部分積分を用いると、$e^x \sin x$ および $e^x \cos x$ の積分が必要になります。

* 微分: 積の微分法を用いる。

$\frac{d}{dx}(e^x(\sin x + \cos x)) = e^x(\sin x + \cos x) + e^x(\cos x - \sin x) = 2e^x \cos x$

(4) $\sin^2 x$

* 積分: 半角の公式 $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ を用いて積分する。

* 微分: 合成関数の微分法を用いる。

$\frac{d}{dx}(\sin^2 x) = 2\sin x \cos x = \sin 2x$

(5) $\frac{1}{x^2 + 1}$

* 積分: $\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \arctan x + C$

* 微分:

$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^2+1}\right) = -\frac{2x}{(x^2+1)^2}$

(6) $\frac{1}{\sqrt{x}}$

* 積分: $\int x^{-1/2} dx = 2\sqrt{x} + C$

* 微分:

$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right) = -\frac{1}{2}x^{-3/2} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$

(7) $\frac{1}{\tan x} = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$

* 積分: $\int \cot x dx = \int \frac{\cos x}{\sin x} dx = \log |\sin x| + C$

* 微分:

$\frac{d}{dx}(\cot x) = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$

(8) $\frac{x}{\sin x}$

* 積分: 簡単な積分公式では積分できません。

* 微分: 商の微分法を用いる。

$\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{\sin x}\right) = \frac{\sin x - x\cos x}{\sin^2 x}$

(9) $\frac{x}{\log x}$

* 積分: 簡単な積分公式では積分できません。

* 微分: 商の微分法を用いる。

$\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{\log x}\right) = \frac{\log x - x\frac{1}{x}}{(\log x)^2} = \frac{\log x - 1}{(\log x)^2}$

3. 最終的な答え

問題文が不完全であるため、具体的な答えを一つに定めることはできません。上記に各関数に対する積分と微分を示しました。問題が積分を求めるものであれば、上記の積分の結果が答えとなり、微分を求めるものであれば、上記の微分の結果が答えとなります。