与えられた三角関数の式 $\sin(\theta + \frac{\pi}{2}) + \sin(\theta + \pi) + \sin(\theta + \frac{3\pi}{2}) + \sin(\theta + 2\pi)$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の式 $\sin(\theta + \frac{\pi}{2}) + \sin(\theta + \pi) + \sin(\theta + \frac{3\pi}{2}) + \sin(\theta + 2\pi)$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

三角関数の加法定理または周期性を用いて、各項を $\sin\theta$ または $\cos\theta$ の式に変換します。

* $\sin(\theta + \frac{\pi}{2}) = \cos\theta$

* $\sin(\theta + \pi) = -\sin\theta$

* $\sin(\theta + \frac{3\pi}{2}) = -\cos\theta$

* $\sin(\theta + 2\pi) = \sin\theta$

したがって、与えられた式は以下のように変形できます。

$\sin(\theta + \frac{\pi}{2}) + \sin(\theta + \pi) + \sin(\theta + \frac{3\pi}{2}) + \sin(\theta + 2\pi) = \cos\theta - \sin\theta - \cos\theta + \sin\theta$

整理すると、

$\cos\theta - \cos\theta - \sin\theta + \sin\theta = 0$

3. 最終的な答え

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