与えられた3次式 $x^3 - 12x^2 + 38x - 24$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた3次式 $x^3 - 12x^2 + 38x - 24$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $P(x) = x^3 - 12x^2 + 38x - 24$ とおきます。

次に、$P(x) = 0$ となるような $x$ の値をいくつか探します。整数の解の候補は、定数項 $-24$ の約数です。

試しに、$x=1$ を代入してみると、$P(1) = 1 - 12 + 38 - 24 = 3$ となり、$P(1) \neq 0$ です。

次に、$x=2$ を代入してみると、$P(2) = 2^3 - 12(2^2) + 38(2) - 24 = 8 - 48 + 76 - 24 = 12$ となり、$P(2) \neq 0$ です。

次に、$x=3$ を代入してみると、$P(3) = 3^3 - 12(3^2) + 38(3) - 24 = 27 - 108 + 114 - 24 = 9$ となり、$P(3) \neq 0$ です。

次に、$x=4$ を代入してみると、$P(4) = 4^3 - 12(4^2) + 38(4) - 24 = 64 - 192 + 152 - 24 = 0$ となり、$P(4) = 0$ です。

したがって、$x=4$ は $P(x)=0$ の解の一つです。このことから、$P(x)$ は $(x-4)$ を因数に持つことがわかります。

次に、$P(x)$ を $(x-4)$ で割ることで、残りの因数を求めます。割り算を実行すると、以下のようになります。

$x^3 - 12x^2 + 38x - 24 = (x-4)(x^2 - 8x + 6)$

次に、2次式 $x^2 - 8x + 6$ を因数分解します。

これは因数分解できないため、解の公式を用いると、

$x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(6)}}{2(1)} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 24}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 4 \pm \sqrt{10}$

したがって、$x = 4 + \sqrt{10}$ および $x = 4 - \sqrt{10}$ は $x^2 - 8x + 6 = 0$ の解です。

よって、$x^2 - 8x + 6 = (x - (4+\sqrt{10}))(x - (4-\sqrt{10}))$ と因数分解できます。

したがって、$P(x)$ の因数分解は以下のようになります。

$P(x) = (x - 4)(x - (4+\sqrt{10}))(x - (4-\sqrt{10}))$

画像から、因数分解は $P(x) = (x-a)(x-b)(x-c)$の形で表されることが予想され、$a,b,c$ は整数であると考えられます。

$x=6$を代入すると、$P(6) = 6^3 - 12(6^2) + 38(6) - 24 = 216 - 432 + 228 - 24 = -12$ なので、$x=6$は解ではありません。

$x=1$のとき、$P(1) = 1 - 12 + 38 - 24 = 3$

$x=2$のとき、$P(2) = 8 - 48 + 76 - 24 = 12$

$x=3$のとき、$P(3) = 27 - 108 + 114 - 24 = 9$

$x=4$のとき、$P(4) = 64 - 192 + 152 - 24 = 0$

$x=5$のとき、$P(5) = 125 - 300 + 190 - 24 = -9$

$x=6$のとき、$P(6) = 216 - 432 + 228 - 24 = -12$

$(x-4)$ で割った結果、$x^2 - 8x + 6$ になります。この2次方程式は、整数解を持ちません。

問題が因数分解であるなら、画像より整数解を持つ可能性が高いです。

改めて検討すると、$x^3-12x^2+38x-24 = (x-a)(x-b)(x-c)$なので、$abc=24$が成立します。

$x^3-12x^2+38x-24$を微分すると、$3x^2-24x+38$なので、解は$x=\frac{24\pm\sqrt{24^2-4(3)(38)}}{2(3)} = \frac{24\pm\sqrt{576-456}}{6} = \frac{24\pm\sqrt{120}}{6} = \frac{24\pm2\sqrt{30}}{6} = 4\pm\frac{\sqrt{30}}{3}$

グラフの概形から、$P(x)=0$は整数解を３つ持ちそうです。

$x=1$のとき、$P(1) = 3$

$x=2$のとき、$P(2) = 12$

$x=3$のとき、$P(3) = 9$

$x=4$のとき、$P(4) = 0$

$x=5$のとき、$P(5) = -9$

$x=6$のとき、$P(6) = -12$

$x=7$のとき、$P(7) = -3$

$x=8$のとき、$P(8) = 16$

$x=9$のとき、$P(9) = 69$

$P(x) = (x-4)(x^2-8x+6)$より、$P(2) = (2-4)(4-16+6) = (-2)(-6) = 12$, $P(6)=(6-4)(36-48+6)=(2)(-6)=-12$, $P(8)=(8-4)(64-64+6)=(4)(6)=24$

$P(x)$は、$x=4$で0になるので、$x-4$を因数に持つのは正しいです。

$x=4$以外の２つの解は、$x^2-8x+6=0$の解となります。解の公式より、$x = \frac{8\pm\sqrt{64-24}}{2}= \frac{8\pm\sqrt{40}}{2} = \frac{8\pm2\sqrt{10}}{2} = 4\pm\sqrt{10}$

このことから、整数解を３つ持たないことがわかります。

再度検討すると、$x^3-12x^2+38x-24=(x-4)(x^2-8x+6)=(x-4)(x-4-\sqrt{10})(x-4+\sqrt{10})$なので、画像の問題がおかしい可能性があります。

もう一度、問題文を確認します。画像より、$x^3-12x^2+38x-24$であり、これは正しいとします。

係数に間違いがないかを確認します。

$x=1$のとき、$P(1) = 3$

$x=2$のとき、$P(2) = 12$

$x=3$のとき、$P(3) = 9$

$x=4$のとき、$P(4) = 0$

$x=6$のとき、$P(6) = -12$

$x=8$のとき、$P(8) = 24$

$x=9$のとき、$P(9) = 69$

$x=4$で割り切れるので、$x-4$を因数に持つことは確かです。

試しに、$(x-4)(x-2)(x-3) = (x-4)(x^2-5x+6)=x^3-5x^2+6x-4x^2+20x-24 = x^3-9x^2+26x-24$

$(x-1)(x-2)(x-3) = (x^2-3x+2)(x-3) = x^3-3x^2-3x^2+9x+2x-6 = x^3-6x^2+11x-6$

$(x-1)(x-4)(x-6) = (x-1)(x^2-10x+24) = x^3-10x^2+24x-x^2+10x-24 = x^3-11x^2+34x-24$

$(x-2)(x-3)(x-4) = (x^2-5x+6)(x-4) = x^3-4x^2-5x^2+20x+6x-24 = x^3-9x^2+26x-24$

$(x-a)(x-b)(x-c)$としたとき、a,b,cはすべて整数であるとします。$x^3-12x^2+38x-24=0$となる整数解は存在するか？

$x=4$はわかっているので、$(x-4)(x^2-px+q)=0$の形になるとする。

$x^3-(4+p)x^2+(4p+q)x-4q = x^3-12x^2+38x-24$

$4+p=12 \implies p=8$

$4p+q=38 \implies 32+q=38 \implies q=6$

$4q=24 \implies q=6$

なので、$x^3-12x^2+38x-24=(x-4)(x^2-8x+6)$で正しい。

解の公式から、$x = \frac{8\pm\sqrt{40}}{2} = \frac{8\pm2\sqrt{10}}{2} = 4\pm\sqrt{10}$

3. 最終的な答え

$(x-4)(x^2-8x+6) = (x-4)(x-(4+\sqrt{10}))(x-(4-\sqrt{10}))$