## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x - x^2 \cos x}{2 - 2 \cos x - x \sin x}$ を求めよ。

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{4 (1 - \cos x)^2 - x^4}{(x - \sin x)^2}$ を求めよ。

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2. 解き方の手順

**(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x - x^2 \cos x}{2 - 2 \cos x - x \sin x}$**

まず、$\sin x$ と $\cos x$ のマクローリン展開を利用します。

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$

これらを代入して、

$\sin^2 x = (x - \frac{x^3}{6} + \cdots)^2 = x^2 - \frac{x^4}{3} + O(x^6)$

$x^2 \cos x = x^2 (1 - \frac{x^2}{2} + \cdots) = x^2 - \frac{x^4}{2} + O(x^6)$

$2 - 2 \cos x = 2 - 2(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots) = x^2 - \frac{x^4}{12} + O(x^6)$

$x \sin x = x(x - \frac{x^3}{6} + \cdots) = x^2 - \frac{x^4}{6} + O(x^6)$

分子は、

$\sin^2 x - x^2 \cos x = (x^2 - \frac{x^4}{3} + \cdots) - (x^2 - \frac{x^4}{2} + \cdots) = \frac{x^4}{6} + O(x^6)$

分母は、

$2 - 2 \cos x - x \sin x = (x^2 - \frac{x^4}{12} + \cdots) - (x^2 - \frac{x^4}{6} + \cdots) = \frac{x^4}{12} + O(x^6)$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x - x^2 \cos x}{2 - 2 \cos x - x \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^4}{6} + O(x^6)}{\frac{x^4}{12} + O(x^6)} = \frac{1/6}{1/12} = 2$

**(2) $\lim_{x \to 0} \frac{4 (1 - \cos x)^2 - x^4}{(x - \sin x)^2}$**

$\sin x$ と $\cos x$ のマクローリン展開を利用します。

$1 - \cos x = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \frac{x^6}{720} - \cdots$

$(1 - \cos x)^2 = (\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \cdots)^2 = \frac{x^4}{4} - \frac{x^6}{24} + O(x^8)$

$4 (1 - \cos x)^2 = x^4 - \frac{x^6}{6} + O(x^8)$

$4 (1 - \cos x)^2 - x^4 = -\frac{x^6}{6} + O(x^8)$

$x - \sin x = x - (x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots) = \frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{120} + \cdots$

$(x - \sin x)^2 = (\frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{120} + \cdots)^2 = \frac{x^6}{36} - \frac{x^8}{360} + O(x^{10})$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{4 (1 - \cos x)^2 - x^4}{(x - \sin x)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^6}{6} + O(x^8)}{\frac{x^6}{36} + O(x^8)} = \frac{-1/6}{1/36} = -6$

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3. 最終的な答え

(1) 2

(2) -6