$\triangle ABC$ において、辺 $BC, CA, AB$ 上にそれぞれ点 $P, Q, R$ がある。$Q$ は辺 $CA$ の中点であり、$\frac{\triangle ARQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{6}, \frac{\triangle BPQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{5}$ を満たしている。$AP$ と $BQ$ の交点を $D$, $BQ$ と $CR$ の交点を $E$, $CR$ と $AP$ の交点を $F$ とする。以下の問いに答えよ。 (1) $\vec{AR} = \frac{\text{ア}}{\text{イ}} \vec{AB}$ (2) $\vec{AP} = \frac{\text{ウ}}{\text{エ}} \vec{AB} + \frac{\text{オ}}{\text{カ}} \vec{AC}$, $\vec{BQ} = \frac{\text{キ}}{\text{ケ}} \vec{AB} + \frac{\text{ク}}{\text{ケ}} \vec{AC}$ (3) $\vec{AD} = \frac{\text{コ}}{\text{サ}} \vec{AB} + \frac{\text{シ}}{\text{ス}} \vec{AC}$, $\vec{DE} = -\frac{\text{セ}}{\text{ソタ}} \vec{AB} + \frac{\text{チ}}{\text{ツテ}} \vec{AC}$ (4) $\frac{\triangle DEF}{\triangle ABC} = \frac{\text{トナ}}{\text{ニヌネ}}$

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、辺 $BC, CA, AB$ 上にそれぞれ点 $P, Q, R$ がある。$Q$ は辺 $CA$ の中点であり、$\frac{\triangle ARQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{6}, \frac{\triangle BPQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{5}$ を満たしている。$AP$ と $BQ$ の交点を $D$, $BQ$ と $CR$ の交点を $E$, $CR$ と $AP$ の交点を $F$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) $\vec{AR} = \frac{\text{ア}}{\text{イ}} \vec{AB}$

(2) $\vec{AP} = \frac{\text{ウ}}{\text{エ}} \vec{AB} + \frac{\text{オ}}{\text{カ}} \vec{AC}$, $\vec{BQ} = \frac{\text{キ}}{\text{ケ}} \vec{AB} + \frac{\text{ク}}{\text{ケ}} \vec{AC}$

(3) $\vec{AD} = \frac{\text{コ}}{\text{サ}} \vec{AB} + \frac{\text{シ}}{\text{ス}} \vec{AC}$, $\vec{DE} = -\frac{\text{セ}}{\text{ソタ}} \vec{AB} + \frac{\text{チ}}{\text{ツテ}} \vec{AC}$

(4) $\frac{\triangle DEF}{\triangle ABC} = \frac{\text{トナ}}{\text{ニヌネ}}$

2. 解き方の手順

(1)

$\frac{\triangle ARQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{6}$ より、$\frac{1}{2} |AR| |AQ| \sin A = \frac{1}{6} \frac{1}{2} |AB| |AC| \sin A$

$|AQ| = \frac{1}{2}|AC|$ であるから、$\frac{1}{2} |AR| \frac{1}{2} |AC| \sin A = \frac{1}{6} \frac{1}{2} |AB| |AC| \sin A$

$\frac{1}{4} |AR| = \frac{1}{12} |AB|$

$|AR| = \frac{1}{3} |AB|$

よって、$\vec{AR} = \frac{1}{3} \vec{AB}$

(2)

$\frac{\triangle BPQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{5}$ より、$\frac{\triangle ABC - \triangle ABP - \triangle BQC - \triangle CPA}{\triangle ABC} = 1 - \frac{\triangle ABP}{\triangle ABC} - \frac{\triangle BQC}{\triangle ABC} - \frac{\triangle CPA}{\triangle ABC} = \frac{1}{5}$

$\frac{\triangle ABP}{\triangle ABC} = \frac{|AP| \cdot |AB| \sin A}{\frac{1}{2} |BC| |AC| \sin C}$

$|AQ| = \frac{1}{2}|AC|$ より $\vec{AQ} = \frac{1}{2} \vec{AC}$. また、$BP : PC = x:y$ とすると，$x+y=1$より $y=1-x$

$\vec{AP} = (1-x) \vec{AB} + x \vec{AC}$

$A(0,0)$, $B(1,0)$, $C(0,1)$とすると、$Q=(0, 1/2)$. $\frac{\triangle ARQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{6}$なので，$R = (1/3, 0)$. $\frac{\triangle BPQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{5}$なので，$P = ((4/5)*0 + (1/5)*1, (4/5)*1 + (1/5)*0) = (1/5, 4/5)$

$\vec{AP} = (\frac{1}{5}, \frac{4}{5})$

$\vec{AB} = (1,0)$, $\vec{AC} = (0,1)$

$\vec{AP} = \frac{1}{5} \vec{AB} + \frac{4}{5} \vec{AC}$

$\vec{BQ} = (0, 1/2) - (1, 0) = (-1, 1/2) = -1 \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AC}$

(3)

$\vec{AD} = s \vec{AP} = s (\frac{1}{5} \vec{AB} + \frac{4}{5} \vec{AC})$, $\vec{AD} = \vec{AB} + t \vec{BQ} = \vec{AB} + t (- \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AC}) = (1-t) \vec{AB} + \frac{t}{2} \vec{AC}$

$\frac{s}{5} = 1-t$, $\frac{4s}{5} = \frac{t}{2}$

$t = \frac{8s}{5}$, $\frac{s}{5} = 1 - \frac{8s}{5}$

$s = 5-8s$, $9s=5$, $s = \frac{5}{9}$

$\vec{AD} = \frac{5}{9} (\frac{1}{5} \vec{AB} + \frac{4}{5} \vec{AC}) = \frac{1}{9} \vec{AB} + \frac{4}{9} \vec{AC}$

$\vec{DE} = \vec{AE} - \vec{AD}$

(4)

3. 最終的な答え

(1)

$\vec{AR} = \frac{1}{3} \vec{AB}$

(2)

$\vec{AP} = \frac{1}{5} \vec{AB} + \frac{4}{5} \vec{AC}$

$\vec{BQ} = -1 \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AC}$

(3)

$\vec{AD} = \frac{1}{9} \vec{AB} + \frac{4}{9} \vec{AC}$

(4)

$\frac{\triangle DEF}{\triangle ABC}$