全体集合$U$を10以下の自然数全体の集合とし、$U$の部分集合$A = \{2, 4, 6\}, B = \{1, 3, 4, 7\}$とする。このとき、以下の集合の要素の個数を求める。 1. $n(A \cap B)$

1. 問題の内容

全体集合$U$を10以下の自然数全体の集合とし、$U$の部分集合$A = \{2, 4, 6\}, B = \{1, 3, 4, 7\}$とする。このとき、以下の集合の要素の個数を求める。

1. $n(A \cap B)$

2. $n(A \cup B)$

3. $n(\overline{A} \cap B)$

4. $n(\overline{A \cup B})$

2. 解き方の手順

まず、全体集合$U$を求めます。$U$は10以下の自然数全体の集合なので、$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$です。

1. $A \cap B$は、$A$と$B$の両方に含まれる要素の集合です。$A = \{2, 4, 6\}, B = \{1, 3, 4, 7\}$なので、$A \cap B = \{4\}$です。したがって、$n(A \cap B) = 1$です。

2. $A \cup B$は、$A$または$B$に含まれる要素の集合です。$A = \{2, 4, 6\}, B = \{1, 3, 4, 7\}$なので、$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 7\}$です。したがって、$n(A \cup B) = 6$です。

3. $\overline{A}$は、$U$の中で$A$に含まれない要素の集合です。$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}, A = \{2, 4, 6\}$なので、$\overline{A} = \{1, 3, 5, 7, 8, 9, 10\}$です。$\overline{A} \cap B$は、$\overline{A}$と$B$の両方に含まれる要素の集合です。$\overline{A} = \{1, 3, 5, 7, 8, 9, 10\}, B = \{1, 3, 4, 7\}$なので、$\overline{A} \cap B = \{1, 3, 7\}$です。したがって、$n(\overline{A} \cap B) = 3$です。

4. $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 7\}$なので、$\overline{A \cup B}$は、$U$の中で$A \cup B$に含まれない要素の集合です。$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}, A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 7\}$なので、$\overline{A \cup B} = \{5, 8, 9, 10\}$です。したがって、$n(\overline{A \cup B}) = 4$です。

3. 最終的な答え

1. $n(A \cap B) = 1$

2. $n(A \cup B) = 6$

3. $n(\overline{A} \cap B) = 3$

4. $n(\overline{A \cup B}) = 4$