四角形ABCDにおいて、$AB = 1 + \sqrt{3}$、$BC = 2$、$DA = 2\sqrt{2}$、$\angle A = 105^\circ$、$\angle B = 60^\circ$である。対角線ACの長さを求め、四角形ABCDの面積を求めよ。

1. 問題の内容

四角形ABCDにおいて、$AB = 1 + \sqrt{3}$、$BC = 2$、$DA = 2\sqrt{2}$、$\angle A = 105^\circ$、$\angle B = 60^\circ$である。対角線ACの長さを求め、四角形ABCDの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$において、余弦定理を用いて、$AC^2$を求める。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cos B$

$AC^2 = (1+\sqrt{3})^2 + 2^2 - 2(1+\sqrt{3}) \cdot 2 \cos 60^\circ$

$AC^2 = (1 + 2\sqrt{3} + 3) + 4 - 4(1+\sqrt{3}) \cdot \frac{1}{2}$

$AC^2 = 4 + 2\sqrt{3} + 4 - 2(1+\sqrt{3})$

$AC^2 = 8 + 2\sqrt{3} - 2 - 2\sqrt{3}$

$AC^2 = 6$

$AC = \sqrt{6}$

(2) $\triangle ABC$の面積を求める。

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC \sin B$

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} (1+\sqrt{3}) \cdot 2 \sin 60^\circ$

$S_{\triangle ABC} = (1+\sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S_{\triangle ABC} = \frac{\sqrt{3} + 3}{2}$

(3) $\angle CAD = \angle A - \angle CAB$を求める。

$\triangle ABC$において、正弦定理より、

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$

$\frac{2}{\sin \angle CAB} = \frac{\sqrt{6}}{\sin 60^\circ}$

$\sin \angle CAB = \frac{2 \sin 60^\circ}{\sqrt{6}}$

$\sin \angle CAB = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

よって、$\angle CAB = 45^\circ$

$\angle CAD = 105^\circ - 45^\circ = 60^\circ$

(4) $\triangle ADC$の面積を求める。

$\triangle ADC$の面積を$S$とすると、

$S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} AC \cdot AD \sin \angle CAD$

$S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} \sqrt{6} \cdot 2\sqrt{2} \sin 60^\circ$

$S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} \sqrt{6} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S_{\triangle ADC} = \frac{2\sqrt{36}}{4} = \frac{2 \cdot 6}{4} = 3$

(5) 四角形ABCDの面積を求める。

$S_{ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC}$

$S_{ABCD} = \frac{\sqrt{3} + 3}{2} + 3$

$S_{ABCD} = \frac{\sqrt{3} + 3 + 6}{2} = \frac{\sqrt{3} + 9}{2}$

3. 最終的な答え

$AC = \sqrt{6}$

$S_{ABCD} = \frac{\sqrt{3} + 9}{2}$