与えられた式 $(a+b)^2 (a-b)^2 (a^4 + a^2b^2 + b^4)^2$ を展開せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b)^2 (a-b)^2 (a^4 + a^2b^2 + b^4)^2$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b)^2$ と $(a-b)^2$ を展開します。

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

次に、$(a+b)^2 (a-b)^2$ を計算します。

$(a+b)^2 (a-b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2)(a^2 - 2ab + b^2) = ((a^2 + b^2) + 2ab)((a^2 + b^2) - 2ab) = (a^2 + b^2)^2 - (2ab)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - 4a^2b^2 = a^4 - 2a^2b^2 + b^4$

したがって、

$(a+b)^2 (a-b)^2 = a^4 - 2a^2b^2 + b^4 = (a^2 - b^2)^2$

となります。

次に、$(a^4 + a^2b^2 + b^4)^2$ を展開します。

$(a^4 + a^2b^2 + b^4)^2 = (a^4 + a^2b^2 + b^4)(a^4 + a^2b^2 + b^4) = a^8 + a^6b^2 + a^4b^4 + a^6b^2 + a^4b^4 + a^2b^6 + a^4b^4 + a^2b^6 + b^8 = a^8 + 2a^6b^2 + 3a^4b^4 + 2a^2b^6 + b^8$

最後に、$(a^4 - 2a^2b^2 + b^4)(a^8 + 2a^6b^2 + 3a^4b^4 + 2a^2b^6 + b^8)$ を計算します。

$(a^4 - 2a^2b^2 + b^4)(a^8 + 2a^6b^2 + 3a^4b^4 + 2a^2b^6 + b^8) = a^{12} + 2a^{10}b^2 + 3a^8b^4 + 2a^6b^6 + a^4b^8 - 2a^{10}b^2 - 4a^8b^4 - 6a^6b^6 - 4a^4b^8 - 2a^2b^{10} + a^8b^4 + 2a^6b^6 + 3a^4b^8 + 2a^2b^{10} + b^{12} = a^{12} + (2-2)a^{10}b^2 + (3-4+1)a^8b^4 + (2-6+2)a^6b^6 + (1-4+3)a^4b^8 + (-2+2)a^2b^{10} + b^{12} = a^{12} - 2a^6b^6 + b^{12} = (a^6 - b^6)^2$

また別の方法として、

$(a^2 - b^2)(a^4 + a^2b^2 + b^4) = a^6 - b^6$

したがって

$(a^2 - b^2)^2 (a^4 + a^2b^2 + b^4)^2 = (a^6 - b^6)^2 = a^{12} - 2a^6b^6 + b^{12}$

3. 最終的な答え

$a^{12} - 2a^6b^6 + b^{12}$