(3) 円錐の展開図が与えられており、側面のおうぎ形の半径が 8cm、中心角が 150° のとき、円錐の底面の半径を求める問題です。 (4) 底面の半径が 4cm、高さが 3cm の円柱と、底面の半径が 4cm、高さが 3cm の円錐を合わせた立体の体積を求める問題です。 (5) 体積が $144 cm^3$ の円錐を底面に平行な平面で切ったとき、底面の円の半径と切り口の円の半径の比が 2:1 である。上の部分の円錐の体積を求める問題です。

1. 問題の内容

(3) 円錐の展開図が与えられており、側面のおうぎ形の半径が 8cm、中心角が 150° のとき、円錐の底面の半径を求める問題です。

(4) 底面の半径が 4cm、高さが 3cm の円柱と、底面の半径が 4cm、高さが 3cm の円錐を合わせた立体の体積を求める問題です。

(5) 体積が $144 cm^3$ の円錐を底面に平行な平面で切ったとき、底面の円の半径と切り口の円の半径の比が 2:1 である。上の部分の円錐の体積を求める問題です。

2. 解き方の手順

(3)

円錐の底面の円周は、展開図のおうぎ形の弧の長さに等しい。

おうぎ形の弧の長さは $2\pi \times 8 \times \frac{150}{360}$ で表される。

円錐の底面の半径を $r$ とすると、$2\pi r = 2\pi \times 8 \times \frac{150}{360}$ が成り立つ。

これを解くことで、$r$ を求められる。

$2\pi r = 2\pi \times 8 \times \frac{150}{360}$

$r = 8 \times \frac{150}{360}$

$r = 8 \times \frac{5}{12}$

$r = \frac{40}{12} = \frac{10}{3}$

(4)

円柱の体積は、底面積 $\times$ 高さ で求められる。底面積は $\pi \times 4^2 = 16\pi$ なので、体積は $16\pi \times 3 = 48\pi$ である。

円錐の体積は、$\frac{1}{3} \times$ 底面積 $\times$ 高さ で求められる。底面積は $\pi \times 4^2 = 16\pi$ なので、体積は $\frac{1}{3} \times 16\pi \times 3 = 16\pi$ である。

したがって、全体の体積は $48\pi + 16\pi = 64\pi$ である。

(5)

円錐を底面に平行な平面で切ったとき、小さい円錐と元の円錐は相似になる。

相似比は、底面の半径の比に等しいので、1:2 である。

体積比は、相似比の3乗に等しいので、$1^3:2^3 = 1:8$ である。

小さい円錐の体積を $V$ とすると、元の円錐の体積は $8V$ である。

問題文より、元の円錐の体積は $144cm^3$ なので、$8V = 144$ である。

したがって、$V = \frac{144}{8} = 18$ である。

3. 最終的な答え

(3) $\frac{10}{3}$

(4) $64\pi$

(5) 18