(1) ベクトル $\vec{a} = (\sqrt{5}, 2)$ に垂直な単位ベクトル $\vec{e}$ を求める。 (2) ベクトル $\vec{a} = (7, -1)$ に垂直で、大きさが $\sqrt{2}$ のベクトル $\vec{b}$ を求める。

1. 問題の内容

(1) ベクトル $\vec{a} = (\sqrt{5}, 2)$ に垂直な単位ベクトル $\vec{e}$ を求める。

(2) ベクトル $\vec{a} = (7, -1)$ に垂直で、大きさが $\sqrt{2}$ のベクトル $\vec{b}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{a} = (\sqrt{5}, 2)$ に垂直なベクトルを $\vec{v} = (x, y)$ とすると、内積が0になるので、

$\vec{a} \cdot \vec{v} = 0$ より、

$\sqrt{5}x + 2y = 0$

$y = -\frac{\sqrt{5}}{2}x$

よって、$\vec{v} = (2, -\sqrt{5})$ などが考えられる。一般的には $\vec{v} = (2k, -\sqrt{5}k)$ （kは実数）と表せる。

$\vec{v}$ の大きさを求めると、

$|\vec{v}| = \sqrt{(2k)^2 + (-\sqrt{5}k)^2} = \sqrt{4k^2 + 5k^2} = \sqrt{9k^2} = 3|k|$

$\vec{e}$ は単位ベクトルなので、$|\vec{e}| = 1$ となるように $\vec{v}$ を調整する。

$\vec{e} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{(2k, -\sqrt{5}k)}{3|k|}$

$k > 0$ のとき、

$\vec{e} = \frac{1}{3}(2, -\sqrt{5})$

$k < 0$ のとき、

$\vec{e} = \frac{1}{3}(-2, \sqrt{5})$

(2) $\vec{a} = (7, -1)$ に垂直なベクトルを $\vec{b} = (x, y)$ とすると、内積が0になるので、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ より、

$7x - y = 0$

$y = 7x$

よって、$\vec{b} = (x, 7x)$ と表せる。

$\vec{b}$ の大きさは $\sqrt{2}$ なので、

$|\vec{b}| = \sqrt{x^2 + (7x)^2} = \sqrt{x^2 + 49x^2} = \sqrt{50x^2} = |5\sqrt{2}x| = \sqrt{2}$

$|5\sqrt{2}x| = \sqrt{2}$

$|5x| = 1$

$x = \pm \frac{1}{5}$

$x = \frac{1}{5}$ のとき、$\vec{b} = (\frac{1}{5}, \frac{7}{5})$

$x = -\frac{1}{5}$ のとき、$\vec{b} = (-\frac{1}{5}, -\frac{7}{5})$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{e} = \frac{1}{3}(2, -\sqrt{5})$ または $\vec{e} = \frac{1}{3}(-2, \sqrt{5})$

(2) $\vec{b} = (\frac{1}{5}, \frac{7}{5})$ または $\vec{b} = (-\frac{1}{5}, -\frac{7}{5})$