$a$ を正の定数とする。曲線 $y = a\cos x$（$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$）と曲線 $y = \sin x$ と $y$ 軸で囲まれた部分の面積が 1 のとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を正の定数とする。曲線 $y = a\cos x$（$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$）と曲線 $y = \sin x$ と $y$ 軸で囲まれた部分の面積が 1 のとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = a\cos x$ と $y = \sin x$ の交点の $x$ 座標を求めます。

$a\cos x = \sin x$ より、$a = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$ となります。したがって、交点の $x$ 座標を $\alpha$ とすると、$\tan \alpha = a$ です。

$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ において、$0 \le a$ なので、$0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$ となります。

$y = a\cos x$ と $y = \sin x$ と $y$ 軸で囲まれた部分の面積は、$0 \le x \le \alpha$ では $y = a\cos x$ が $y = \sin x$ より上にあるので、積分で表すと、

$\int_0^\alpha (a\cos x - \sin x) dx = 1$

となります。

積分を実行すると、

$[a\sin x + \cos x]_0^\alpha = (a\sin \alpha + \cos \alpha) - (a\sin 0 + \cos 0) = 1$

$a\sin \alpha + \cos \alpha - 1 = 1$

$a\sin \alpha + \cos \alpha = 2$

となります。

$\tan \alpha = a$ より、$\sin \alpha = \frac{a}{\sqrt{1+a^2}}$、$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+a^2}}$ であるから、これらを代入すると、

$a \cdot \frac{a}{\sqrt{1+a^2}} + \frac{1}{\sqrt{1+a^2}} = 2$

$\frac{a^2+1}{\sqrt{1+a^2}} = 2$

$\sqrt{1+a^2} = 2$

$1+a^2 = 4$

$a^2 = 3$

$a = \pm \sqrt{3}$

ここで、$a$ は正の定数なので、$a = \sqrt{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$a = \sqrt{3}$