$|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 3$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$ のとき、以下の値を求める。 (1) $\vec{a} \cdot (2\vec{a} + \vec{b})$ (2) $(3\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (3\vec{a} - 2\vec{b})$ (3) $|\vec{a} + \vec{b}|^2$ (4) $|\vec{a} - \vec{b}|$

1. 問題の内容

$|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 3$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$ のとき、以下の値を求める。

(1) $\vec{a} \cdot (2\vec{a} + \vec{b})$

(2) $(3\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (3\vec{a} - 2\vec{b})$

(3) $|\vec{a} + \vec{b}|^2$

(4) $|\vec{a} - \vec{b}|$

2. 解き方の手順

(1)

$\vec{a} \cdot (2\vec{a} + \vec{b}) = 2\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} = 2|\vec{a}|^2 + \vec{a} \cdot \vec{b}$

与えられた値を代入する。

$2(2^2) + 5 = 2(4) + 5 = 8 + 5 = 13$

(2)

$(3\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (3\vec{a} - 2\vec{b}) = 9\vec{a} \cdot \vec{a} - 6\vec{a} \cdot \vec{b} + 6\vec{b} \cdot \vec{a} - 4\vec{b} \cdot \vec{b} = 9|\vec{a}|^2 - 4|\vec{b}|^2$

与えられた値を代入する。

$9(2^2) - 4(3^2) = 9(4) - 4(9) = 36 - 36 = 0$

(3)

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

与えられた値を代入する。

$2^2 + 2(5) + 3^2 = 4 + 10 + 9 = 23$

(4)

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

与えられた値を代入する。

$2^2 - 2(5) + 3^2 = 4 - 10 + 9 = 3$

したがって、

$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) 13

(2) 0

(3) 23

(4) $\sqrt{3}$