$|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 3$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$ のとき、以下の値を求める。 (1) $\vec{a} \cdot (2\vec{a} + \vec{b})$ (2) $(3\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (3\vec{a} - 2\vec{b})$ (3) $|\vec{a} + \vec{b}|^2$ (4) $|\vec{a} - \vec{b}|$

応用数学ベクトル内積ベクトルの大きさ
2025/5/25

1. 問題の内容

a=2|\vec{a}| = 2, b=3|\vec{b}| = 3, ab=5\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 のとき、以下の値を求める。
(1) a(2a+b)\vec{a} \cdot (2\vec{a} + \vec{b})
(2) (3a+2b)(3a2b)(3\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (3\vec{a} - 2\vec{b})
(3) a+b2|\vec{a} + \vec{b}|^2
(4) ab|\vec{a} - \vec{b}|

2. 解き方の手順

(1)
a(2a+b)=2aa+ab=2a2+ab\vec{a} \cdot (2\vec{a} + \vec{b}) = 2\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} = 2|\vec{a}|^2 + \vec{a} \cdot \vec{b}
与えられた値を代入する。
2(22)+5=2(4)+5=8+5=132(2^2) + 5 = 2(4) + 5 = 8 + 5 = 13
(2)
(3a+2b)(3a2b)=9aa6ab+6ba4bb=9a24b2(3\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (3\vec{a} - 2\vec{b}) = 9\vec{a} \cdot \vec{a} - 6\vec{a} \cdot \vec{b} + 6\vec{b} \cdot \vec{a} - 4\vec{b} \cdot \vec{b} = 9|\vec{a}|^2 - 4|\vec{b}|^2
与えられた値を代入する。
9(22)4(32)=9(4)4(9)=3636=09(2^2) - 4(3^2) = 9(4) - 4(9) = 36 - 36 = 0
(3)
a+b2=(a+b)(a+b)=aa+2ab+bb=a2+2ab+b2|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2
与えられた値を代入する。
22+2(5)+32=4+10+9=232^2 + 2(5) + 3^2 = 4 + 10 + 9 = 23
(4)
ab2=(ab)(ab)=aa2ab+bb=a22ab+b2|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2
与えられた値を代入する。
222(5)+32=410+9=32^2 - 2(5) + 3^2 = 4 - 10 + 9 = 3
したがって、
ab=3|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3}

3. 最終的な答え

(1) 13
(2) 0
(3) 23
(4) 3\sqrt{3}

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