xy平面上に2定点A(1, 0), B(0, 2)があり、直線 $l: y=mx$ がある。A, Bから直線 $l$ に下ろした垂線の足をそれぞれM, Nとする。線分MNを1:2に内分する点をPとする。ただし、 $m=0$ のときは $M=A$, $M=N$のときは $P=M$ とする。 (1) 2点M, Nの座標をmを用いて表せ。 (2) mが変化するとき、Pの軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

xy平面上に2定点A(1, 0), B(0, 2)があり、直線 $l: y=mx$ がある。A, Bから直線 $l$ に下ろした垂線の足をそれぞれM, Nとする。線分MNを1:2に内分する点をPとする。ただし、 $m=0$ のときは $M=A$, $M=N$のときは $P=M$ とする。

(1) 2点M, Nの座標をmを用いて表せ。

(2) mが変化するとき、Pの軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) M, Nの座標をmを用いて表す。

まず、点Mについて考える。点Mは点A(1, 0)から直線 $y=mx$ に下ろした垂線の足である。

直線AMは直線 $y=mx$ に垂直であるから、その傾きは $-1/m$ である（ただし、$m \ne 0$）。したがって、直線AMの方程式は

$y = -\frac{1}{m}(x - 1)$

と表される。点Mは直線 $y=mx$ 上にあるので、

$mx = -\frac{1}{m}(x - 1)$

$m^2x = -x + 1$

$(m^2 + 1)x = 1$

$x = \frac{1}{m^2 + 1}$

したがって、

$y = \frac{m}{m^2 + 1}$

よって、$M(\frac{1}{m^2 + 1}, \frac{m}{m^2 + 1})$となる。

$m = 0$のとき、$M = A(1,0)$である。これは上記の式に $m=0$ を代入したときにも一致する。

次に、点Nについて考える。点Nは点B(0, 2)から直線 $y=mx$ に下ろした垂線の足である。

直線BNは直線 $y=mx$ に垂直であるから、その傾きは $-1/m$ である（ただし、$m \ne 0$）。したがって、直線BNの方程式は

$y - 2 = -\frac{1}{m}x$

$y = -\frac{1}{m}x + 2$

点Nは直線 $y=mx$ 上にあるので、

$mx = -\frac{1}{m}x + 2$

$m^2x = -x + 2m$

$(m^2 + 1)x = 2m$

$x = \frac{2m}{m^2 + 1}$

したがって、

$y = \frac{2m^2}{m^2 + 1}$

よって、$N(\frac{2m}{m^2 + 1}, \frac{2m^2}{m^2 + 1})$となる。

$m=0$のとき、$N(0, 0)$となる。これは上記の式に $m=0$ を代入したときにも一致する。

(2) Pの軌跡を求める。

点Pは線分MNを1:2に内分する点なので、その座標は

$P(x, y) = (\frac{2\frac{1}{m^2 + 1} + \frac{2m}{m^2 + 1}}{3}, \frac{2\frac{m}{m^2 + 1} + \frac{2m^2}{m^2 + 1}}{3})$

$P(x, y) = (\frac{2 + 2m}{3(m^2 + 1)}, \frac{2m + 2m^2}{3(m^2 + 1)})$

$x = \frac{2(1 + m)}{3(m^2 + 1)}$

$y = \frac{2m(1 + m)}{3(m^2 + 1)}$

したがって、$y = mx$である。

$x = \frac{2(1+m)}{3(m^2+1)}$ より

$3x(m^2 + 1) = 2(1 + m)$

$3xm^2 + 3x = 2 + 2m$

$3xm^2 - 2m + (3x - 2) = 0$

mは実数なので、このmに関する二次方程式が実数解を持つためには、判別式 $D \ge 0$ でなければならない。

$D = (-2)^2 - 4(3x)(3x - 2) \ge 0$

$4 - 36x^2 + 24x \ge 0$

$9x^2 - 6x - 1 \le 0$

$9x^2 - 6x + 1 \le 2$

$(3x - 1)^2 \le 2$

$-\sqrt{2} \le 3x - 1 \le \sqrt{2}$

$1 - \sqrt{2} \le 3x \le 1 + \sqrt{2}$

$\frac{1 - \sqrt{2}}{3} \le x \le \frac{1 + \sqrt{2}}{3}$

$m = y/x$ を $x = \frac{2(1+m)}{3(m^2+1)}$に代入して

$x = \frac{2(1 + y/x)}{3(y^2/x^2 + 1)} = \frac{2x(x+y)}{3(y^2 + x^2)}$

$3x^2(x^2+y^2) = 2x(x+y)$

$3x(x^2+y^2) = 2(x+y)$

$x, y$ について解くことは困難なので、軌跡は媒介変数表示のままにしておく。

3. 最終的な答え

(1) $M(\frac{1}{m^2 + 1}, \frac{m}{m^2 + 1})$, $N(\frac{2m}{m^2 + 1}, \frac{2m^2}{m^2 + 1})$

(2) $x = \frac{2(1 + m)}{3(m^2 + 1)}, y = \frac{2m(1 + m)}{3(m^2 + 1)}$

$\frac{1 - \sqrt{2}}{3} \le x \le \frac{1 + \sqrt{2}}{3}$