与えられた分数の分母を有理化する問題です。分母に根号を含む式がある場合、分母と分子に適切な値をかけることによって、分母に根号が含まれない形に変形します。

はい、承知しました。画像にある問題のうち、以下の問題を解きます。

(1) $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

(2) $\frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$

(3) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$

(4) $\frac{2\sqrt{2}}{3-\sqrt{5}}$

(5) $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$

(6) $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。分母に根号を含む式がある場合、分母と分子に適切な値をかけることによって、分母に根号が含まれない形に変形します。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

分母の共役な複素数 $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ を分母と分子にかけます。

$\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{5 - 3} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$

(2) $\frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$

分母の共役な複素数 $2 + \sqrt{3}$ を分母と分子にかけます。

$\frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} \times \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3} + 3}{4 - 3} = 2\sqrt{3} + 3$

(3) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$

分母の共役な複素数 $\sqrt{2} + \sqrt{6}$ を分母と分子にかけます。

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2} - \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2} - \sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{30}}{2 - 6} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{30}}{-4} = -\frac{\sqrt{10} + \sqrt{30}}{4}$

(4) $\frac{2\sqrt{2}}{3-\sqrt{5}}$

分母の共役な複素数 $3 + \sqrt{5}$ を分母と分子にかけます。

$\frac{2\sqrt{2}}{3-\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{2}}{3-\sqrt{5}} \times \frac{3 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{2} + 2\sqrt{10}}{9 - 5} = \frac{6\sqrt{2} + 2\sqrt{10}}{4} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

(5) $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$

分母の共役な複素数 $\sqrt{2} + 1$ を分母と分子にかけます。

$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} \times \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} = \frac{2 + 2\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = 3 + 2\sqrt{2}$

(6) $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$

分母の共役な複素数 $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ を分母と分子にかけます。

$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} = \frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{6 - 2} = \frac{8 - 4\sqrt{3}}{4} = 2 - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$

(2) $2\sqrt{3} + 3$

(3) $-\frac{\sqrt{10} + \sqrt{30}}{4}$

(4) $\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

(5) $3 + 2\sqrt{2}$

(6) $2 - \sqrt{3}$