点A(10, 0)と点B(0, 10)を通る直線 $y = -x + 10$、および点B(0, 10)と点C(-5, 0)を通る直線 $y = 2x + 10$ がある。線分AB上に点Pをとり、Pからx軸に下ろした垂線とx軸との交点をQとする。また、Pからy軸に下ろした垂線と直線 $y = 2x + 10$ との交点をRとし、Rからx軸に下ろした垂線とx軸との交点をSとする。点Pのx座標を $a$ とするとき、以下の問いに答える。 (1) Sのx座標を $a$ を用いて表す。 (2) 四角形PQSRの面積が36になるとき、$a$ の値を求める。

1. 問題の内容

点A(10, 0)と点B(0, 10)を通る直線 $y = -x + 10$、および点B(0, 10)と点C(-5, 0)を通る直線 $y = 2x + 10$ がある。線分AB上に点Pをとり、Pからx軸に下ろした垂線とx軸との交点をQとする。また、Pからy軸に下ろした垂線と直線 $y = 2x + 10$ との交点をRとし、Rからx軸に下ろした垂線とx軸との交点をSとする。点Pのx座標を $a$ とするとき、以下の問いに答える。

(1) Sのx座標を $a$ を用いて表す。

(2) 四角形PQSRの面積が36になるとき、$a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

点Pは直線 $y = -x + 10$ 上にあるので、点Pの座標は $(a, -a + 10)$ と表せる。

点Rは点Pからy軸に下ろした垂線と直線 $y = 2x + 10$ の交点なので、点Rのy座標は点Pのy座標と同じになる。

点Rの座標を $(x_R, y_R)$ とすると、$x_R$ は $y_R = 2x_R + 10$ を満たす。

$y_R = -a + 10$ より、$-a + 10 = 2x_R + 10$。

これを $x_R$ について解くと、$2x_R = -a$ より、$x_R = -\frac{a}{2}$。

点Sは点Rからx軸に下ろした垂線とx軸との交点なので、点Sのx座標は点Rのx座標と同じである。

したがって、点Sのx座標は $-\frac{a}{2}$ となる。

(2)

四角形PQSRは長方形である。

点Qのx座標は点Pのx座標と同じなので、点Qの座標は $(a, 0)$。

したがって、線分PQの長さは $-a + 10$ である。

点Sのx座標は $-\frac{a}{2}$ なので、線分SQの長さは $a - (-\frac{a}{2}) = \frac{3}{2}a$ である。

線分SRの長さは点Rのy座標と同じなので、線分SRの長さは $-a + 10$ である。

線分PQの長さは線分SRの長さと同じなので、PQ = SR = $-a+10$

線分PSの長さは点Pのx座標と点Rのx座標の差の絶対値に等しいので、

$PS = |a - (-\frac{a}{2})| = |\frac{3a}{2}| = \frac{3a}{2}$

ここで、$0 < a < 10$ であるから、$PS = \frac{3a}{2}$.

線分QRの長さは、点Pのy座標と点Rのy座標は同じであるから、$QR= \frac{3a}{2}$

四角形PQSRの面積は $PQ \times PS$ であり、$PQ \times PS = (-a + 10)(\frac{3}{2}a) = 36$。

$\frac{3}{2}a(-a + 10) = 36$

$a(-a + 10) = 24$

$-a^2 + 10a - 24 = 0$

$a^2 - 10a + 24 = 0$

$(a - 4)(a - 6) = 0$

$a = 4$ または $a = 6$

3. 最終的な答え

(1) Sのx座標: $-\frac{a}{2}$

(2) $a$ の値: $4, 6$