問題は、5個の数字 0, 1, 2, 3, 4 から異なる3個を選んで3桁の整数を作る。 (1) その中で3の倍数は何個作れるか。 (2) 作れる整数を小さい順に並べたとき、42番目の数は何か。

1. 問題の内容

問題は、5個の数字 0, 1, 2, 3, 4 から異なる3個を選んで3桁の整数を作る。

(1) その中で3の倍数は何個作れるか。

(2) 作れる整数を小さい順に並べたとき、42番目の数は何か。

2. 解き方の手順

(1) 3の倍数について

3の倍数となるのは、各桁の数字の和が3の倍数になるときである。

まず、5個の数字から3個を選ぶ組み合わせを考える。ただし、百の位に0は使えないことに注意する。

3の倍数になる組み合わせは以下の通り。

* (0, 1, 2) → 1, 2, 0; 2, 1, 0; 1, 0, 2; 2, 0, 1; 120, 210　の4個(0が百の位にこないパターンのみ)

* (0, 2, 4) → 4個

* (1, 2, 3) → 6個

* (2, 3, 4) → 6個

したがって、3の倍数は $4 + 4 + 6 + 6 = 20$ 個である。

(2) 42番目の数について

3桁の整数を小さい順に並べる。

まず、百の位が1のものを考える。

百の位が1の場合、残り2桁は 0, 2, 3, 4 から2つを選ぶ。

並べ方は $3 \times 2 = 6$ 通り。

同様に、百の位が2の場合も6通り。

百の位が3の場合も6通り。

百の位が4の場合も6通り。

百の位が1, 2, 3のものは $6 \times 3 = 18$ 通り。

百の位が2の場合、01, 03, 04, 10, 13, 14,...より

百の位が4のものは、 $6 \times 4 = 24$ 通り。

このとき小さい順に並べると、

102, 103, 104, 120, 123, 124, 130, 132, 134, 140, 142, 143,

201, 203, 204, 210, 213, 214, 230, 231, 234, 240, 241, 243,

301, 302, 304, 310, 312, 314, 320, 321, 324, 340, 341, 342,

401, 402, 403, 410, 412, 413, 420, 421, 423,...

1から始まる数: 6個

2から始まる数: 6個

3から始まる数: 6個

4から始まる数: 6個

....

となる。

0から始まる数は存在しない。

よって、

100番台: 6個

200番台: 6個

300番台: 6個

計18個

したがって42番目の数は

百の位が1,2,3,までは $6 \times 3 = 18$通り

百の位が4までは $6 \times 4 = 24$通り

より、400番台であることがわかる。

400番台を小さい順に並べると

401, 402, 403, 410, 412, 413, 420, 421, 423, 430, 431, 432

41番目は 431なので、42番目は432となる。

3. 最終的な答え

(1) 20個

(2) 432