媒介変数 $\theta$ を用いて $x$ と $y$ が以下のように表されるとき、$\frac{dy}{dx}$ を $\theta$ の関数として表す問題です。ただし、$\cos 2\theta \neq 0$ とします。 $x = 3\sin 2\theta + 1$ $y = 5\cos 2\theta + 3$

1. 問題の内容

媒介変数 $\theta$ を用いて $x$ と $y$ が以下のように表されるとき、$\frac{dy}{dx}$ を $\theta$ の関数として表す問題です。ただし、$\cos 2\theta \neq 0$ とします。

$x = 3\sin 2\theta + 1$

$y = 5\cos 2\theta + 3$

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ を $\theta$ で微分します。

$\frac{dx}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(3\sin 2\theta + 1) = 3 \cdot \cos 2\theta \cdot 2 = 6\cos 2\theta$

$\frac{dy}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(5\cos 2\theta + 3) = 5 \cdot (-\sin 2\theta) \cdot 2 = -10\sin 2\theta$

次に、$\frac{dy}{dx}$ を求めます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} = \frac{-10\sin 2\theta}{6\cos 2\theta} = -\frac{5}{3} \tan 2\theta$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{5}{3} \tan 2\theta$