全体集合$U$の部分集合$A$, $B$について、要素の個数が $n(U) = 25$, $n(A) = 15$, $n(B) = 8$, $n(A \cap B) = 3$ であるとき、以下の要素の個数を求める問題です。 1. $n(\overline{B})$

1. 問題の内容

全体集合$U$の部分集合$A$, $B$について、要素の個数が $n(U) = 25$, $n(A) = 15$, $n(B) = 8$, $n(A \cap B) = 3$ であるとき、以下の要素の個数を求める問題です。

1. $n(\overline{B})$

2. $n(A \cup B)$

3. $n(A \cap \overline{B})$

4. $n(\overline{A \cap B})$

2. 解き方の手順

1. $n(\overline{B})$ について：

$\overline{B}$ は $B$ の補集合なので、$U$ の要素のうち $B$ に含まれない要素の個数です。

$n(\overline{B}) = n(U) - n(B)$

$n(\overline{B}) = 25 - 8 = 17$

2. $n(A \cup B)$ について：

$A \cup B$ は $A$ または $B$ に含まれる要素の個数です。包除原理を用いると、

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

$n(A \cup B) = 15 + 8 - 3 = 20$

3. $n(A \cap \overline{B})$ について：

$A \cap \overline{B}$ は $A$ に含まれていて、かつ $B$ に含まれない要素の個数です。

これは、$A$ の要素から、$A$ と $B$ の両方に含まれる要素を取り除いたものです。

$n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B)$

$n(A \cap \overline{B}) = 15 - 3 = 12$

4. $n(\overline{A \cap B})$ について：

$\overline{A \cap B}$ は $A \cap B$ の補集合なので、$U$ の要素のうち $A \cap B$ に含まれない要素の個数です。

$n(\overline{A \cap B}) = n(U) - n(A \cap B)$

$n(\overline{A \cap B}) = 25 - 3 = 22$

3. 最終的な答え

1. $n(\overline{B}) = 17$

2. $n(A \cup B) = 20$

3. $n(A \cap \overline{B}) = 12$

4. $n(\overline{A \cap B}) = 22$