多項式 $2x^2+5xy+2y^2-2x+6y-4$ を $x+y-3$ で割る。 (1) $x$ の整式として割り算をしたときの商と余りを求める。 (2) $y$ の整式として割り算をしたときの商と余りを求める。

1. 問題の内容

多項式 $2x^2+5xy+2y^2-2x+6y-4$ を $x+y-3$ で割る。

(1) $x$ の整式として割り算をしたときの商と余りを求める。

(2) $y$ の整式として割り算をしたときの商と余りを求める。

2. 解き方の手順

(1) $x$ の整式として割り算を行う。

被除多項式を $x$ について整理すると、

$2x^2 + (5y - 2)x + (2y^2 + 6y - 4)$

割る多項式を $x$ について整理すると、$x + (y - 3)$

筆算を行うと以下のようになる。

```

2x + 3y + 4

x + y - 3 | 2x^2 + (5y - 2)x + (2y^2 + 6y - 4)

-(2x^2 + (2y - 6)x - 6x)

----------------------------

(3y + 4)x + (2y^2 + 6y - 4)

-((3y + 4)x + (3y^2 - 5y - 12) )

----------------------------

-y^2 + 11y + 8

```

商は $2x + 3y + 4$

余りは $-y^2 + 11y + 8$

(2) $y$ の整式として割り算を行う。

被除多項式を $y$ について整理すると、

$2y^2 + (5x + 6)y + (2x^2 - 2x - 4)$

割る多項式を $y$ について整理すると、$y + (x - 3)$

筆算を行うと以下のようになる。

```

2y + (x + 12)

y + x - 3 | 2y^2 + (5x + 6)y + (2x^2 - 2x - 4)

-(2y^2 + (2x - 6)y)

----------------------------

(3x + 12)y + (2x^2 - 2x - 4)

-((3x + 12)y + (3x^2 + 9x - 36) )

----------------------------

-x^2 - 11x + 32

```

商は $2y + x + 12$

余りは $-x^2 - 11x + 32$

3. 最終的な答え

(1) $x$ の整式としてみたときの商は $2x + 3y + 4$、余りは $-y^2 + 11y + 8$。

(2) $y$ の整式としてみたときの商は $2y + x + 12$、余りは $-x^2 - 11x + 32$。