全体集合 $U = \{x | x は 10 以下の自然数\}$、 $A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$、 $B = \{3, 6, 9\}$ のとき、以下の値を求めます。 (1) $n(A \cap B)$ (2) $n(A \cup B)$ (3) $n(\overline{A \cap B})$ (4) $n(A \cap \overline{B})$ また、100以下の自然数のうち、以下の数の個数を求めます。 (1) 3で割り切れる数 (2) 7で割り切れる数

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{x | x は 10 以下の自然数\}$、

$A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$、

$B = \{3, 6, 9\}$ のとき、以下の値を求めます。

(1) $n(A \cap B)$

(2) $n(A \cup B)$

(3) $n(\overline{A \cap B})$

(4) $n(A \cap \overline{B})$

また、100以下の自然数のうち、以下の数の個数を求めます。

(1) 3で割り切れる数

(2) 7で割り切れる数

2. 解き方の手順

まず、集合 $A$ と $B$ について考えます。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

$A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$

$B = \{3, 6, 9\}$

(1) $A \cap B$ は、 $A$ と $B$ の共通部分なので、 $A \cap B = \{6\}$。したがって、$n(A \cap B) = 1$

(2) $A \cup B$ は、$A$ と $B$ の和集合なので、$A \cup B = \{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10\}$。したがって、$n(A \cup B) = 7$

(3) $\overline{A \cap B}$ は、$A \cap B$ の補集合です。$A \cap B = \{6\}$ なので、$\overline{A \cap B} = U - \{6\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10\}$。したがって、$n(\overline{A \cap B}) = 9$

(4) $\overline{B}$ は、$B$ の補集合なので、$\overline{B} = U - B = \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10\}$。

$A \cap \overline{B}$ は、$A$ と $\overline{B}$ の共通部分なので、$A \cap \overline{B} = \{2, 4, 8, 10\}$。したがって、$n(A \cap \overline{B}) = 4$

次に、100以下の自然数について考えます。

(1) 3で割り切れる数は、100を3で割った商に等しい。$100 \div 3 = 33.33...$ なので、3で割り切れる数は33個。

(2) 7で割り切れる数は、100を7で割った商に等しい。$100 \div 7 = 14.28...$ なので、7で割り切れる数は14個。

3. 最終的な答え

集合の問題：

(1) $n(A \cap B) = 1$

(2) $n(A \cup B) = 7$

(3) $n(\overline{A \cap B}) = 9$

(4) $n(A \cap \overline{B}) = 4$

100以下の自然数の問題：

(1) 3で割り切れる数: 33

(2) 7で割り切れる数: 14