座標平面上に円 $C_1$ (中心原点、半径2)、円 $C_2$ (中心(7,0)、半径3)がある。半径$r$の円$C_3$が$C_1$と$C_2$に同時に外接するとき、$C_3$の中心を(a, b)とする。以下の問いに答えよ。 (1) rの最小値、aの最大値を求めよ。 (2) aとbの関係式を求めよ。 (3) $C_3$が直線 $x=-3$ に接するとき、aと|b|の値を求めよ。 (4) 点(a, b)と原点を通る直線と、点(a, b)と点(7, 0) を通る直線が直交するとき、|b|の値を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上に円 $C_1$ (中心原点、半径2)、円 $C_2$ (中心(7,0)、半径3)がある。半径$r$の円$C_3$が$C_1$と$C_2$に同時に外接するとき、$C_3$の中心を(a, b)とする。以下の問いに答えよ。

(1) rの最小値、aの最大値を求めよ。

(2) aとbの関係式を求めよ。

(3) $C_3$が直線 $x=-3$ に接するとき、aと|b|の値を求めよ。

(4) 点(a, b)と原点を通る直線と、点(a, b)と点(7, 0) を通る直線が直交するとき、|b|の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) rの最小値：$C_1$と$C_2$が外接するときrは最小となる。 $C_1$と$C_2$が外接するには、2つの円の中心間の距離が半径の和に等しい。円$C_1$の中心と$C_2$の中心間の距離は$7$である。したがって、$C_3$の中心と$C_1$の中心間の距離は$2+r$、$C_3$の中心と$C_2$の中心間の距離は$3+r$。最小のrは、7=2+r+3+rとなるときで、rの最小値は、$7 = 2+3$より、0より大きいので、$r=2$または$r=3$となるのは、接する場合しかないので、rの最小値は$|3-2|=1$とならないといけない。

aの最大値：$C_1$の中心と$C_3$の中心間の距離は、$2+r$, $C_2$の中心と$C_3$の中心間の距離は、$3+r$である。

$(a-0)^2 + (b-0)^2 = (2+r)^2$

$(a-7)^2 + (b-0)^2 = (3+r)^2$

$a^2+b^2 = (2+r)^2$

$(a-7)^2+b^2 = (3+r)^2$

$(a-7)^2 - a^2 = (3+r)^2-(2+r)^2$

$a^2-14a+49-a^2 = 9+6r+r^2-(4+4r+r^2)$

$-14a+49=5+2r$

$14a=44-2r$

$a = \frac{22-r}{7}$

aが最大となるのはrが最小の時。

rの最小値は1なので、$a=\frac{22-1}{7}=\frac{21}{7}=3$

(2) $a^2+b^2 = (2+r)^2$, $(a-7)^2+b^2 = (3+r)^2$, $r=22/7-a$, より、$b^2 = (2+\frac{22}{7}-a)^2-a^2$

$= (\frac{36}{7}-a)^2 - a^2 = (\frac{36}{7})^2 - \frac{72}{7}a+a^2-a^2 = (\frac{36}{7})^2 - \frac{72}{7}a = \frac{1296}{49} - \frac{72a}{7}$.

$(a-7)^2+b^2=(3+r)^2$

$(a-7)^2+b^2=(3+\frac{22}{7}-a)^2 = (\frac{43}{7}-a)^2$

$b^2 = (\frac{43}{7}-a)^2 - (a-7)^2 = (\frac{43}{7})^2 - \frac{86}{7} a + a^2 - (a^2-14a+49)$

$= \frac{1849}{49} - \frac{86}{7} a + 14a-49 = \frac{1849-2401}{49} + \frac{98-86}{7}a = \frac{-552}{49} + \frac{12}{7}a = -\frac{48}{49} (11.5-1.75a) = \frac{12}{7} (a - \frac{46}{7})$.

$a = \frac{22-r}{7}$より$r=22-7a$なので、

$a^2+b^2 = (2+22-7a)^2=(24-7a)^2$.

$b^2 = (24-7a)^2 - a^2 = 576-336a+49a^2-a^2=48a^2-336a+576 = 48(a^2-7a+12)=48(a-3)(a-4)$

$b^2 = 48(a-3)(a-4)$

(3) x=-3に接するから$r = |a+3|$.

$a = \frac{22-r}{7}$なので、$7a = 22 - |a+3|$

$7a = 22 - (a+3) = 19-a$ のとき、$8a = 19, a = \frac{19}{8}$

$|b|^2 = 48(\frac{19}{8}-3)(\frac{19}{8}-4) = 48(\frac{-5}{8})(\frac{-13}{8}) = \frac{48 \cdot 65}{64} = \frac{3\cdot 65}{4} = \frac{195}{4}$

$|b| = \sqrt{\frac{195}{4}} = \frac{\sqrt{195}}{2}$

$7a=22 - (-a-3) = 25+a$のとき、$6a=25$, $a = \frac{25}{6}$

$|b|^2 = 48 (\frac{25}{6}-3)(\frac{25}{6}-4) = 48 (\frac{7}{6}) (\frac{1}{6}) = \frac{48*7}{36} = \frac{4*7}{3} = \frac{28}{3}$

$|b| = \sqrt{\frac{28}{3}}$

$|a+3|=22-7a$, $a+3=-(22-7a)$ なら$a=-(25+a)$, $b^2 \ge 0, (a-3)(a-4) \ge 0$より$a>4$または$a<3$。

$a = \frac{19}{8} = 2.375<3, |b| = \sqrt{\frac{195}{4}}=\frac{\sqrt{195}}{2}$

(4) 傾きの積が-1ならば直交する。

原点と(a,b)を結ぶ直線の傾きは$\frac{b}{a}$

(a,b)と(7,0)を結ぶ直線の傾きは$\frac{b}{a-7}$

$\frac{b}{a} * \frac{b}{a-7} = -1$

$b^2 = -a(a-7) = -a^2 + 7a$.

$b^2 = 48(a-3)(a-4) = -a^2+7a$

$48(a^2-7a+12) = -a^2+7a$

$48a^2 - 336a + 576 = -a^2 + 7a$

$49a^2 - 343a + 576=0$

$a = \frac{343 \pm \sqrt{343^2 - 4 \cdot 49 \cdot 576}}{2 \cdot 49} = \frac{343 \pm \sqrt{117649 - 112896}}{98} = \frac{343 \pm \sqrt{4753}}{98}$.

$b^2 = -a^2+7a$.

$49a^2 - 343a+576=0$.

$a(49a - 343) = -576$.

$a(49a - 343) + 576 = 0$.

$48(a-3)(a-4) = b^2 = -a^2 + 7a$.

$a = \frac{343 \pm 20 \sqrt{12}}{98}$.

$b^2=-a^2+7a$.

$b^2 \ge 0$, $-a(a-7) \ge 0$.

$a(a-7) \le 0$

$0 \le a \le 7$

$|b|^2 = -a^2+7a = a(7-a)$.

$49a^2 - 343a + 576 = 0$.

$|b|^2 = \sqrt{576/49-(a-7/2)^2}$.

$|b| = \frac{\sqrt{195}}{2}$.

$b^2=-a^2+7a = 48(a-3)(a-4)$

$a^2-7a+b^2 = 0$なので、$48a^2 - 336a + 576 = -a^2 + 7a$から$49a^2 - 343a + 576 = 0$.

$49a^2 - 343a+576=0$.

$|b|^2 = \frac{576}{49}$.

$|b| = \frac{\sqrt{576}}{7} = \frac{24}{7}$.

$\frac{b}{a-7}=\frac{\pm24/7}{a-7} = - \frac{a}{\frac{24}{7}}$;

$|b| = \frac{24}{7}$

3. 最終的な答え

(1) rの最小値: 1, aの最大値: 3

(2) $b^2 = 48(a-3)(a-4)$

(3) $a = \frac{19}{8}, |b| = \frac{\sqrt{195}}{2}$

(4) $|b| = \frac{24}{7}$