$xy$ 平面において、連立不等式 $$ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 1 \\ \frac{x^2}{3} + y^2 \le 1 \end{cases} $$ の表す領域の面積を求めよ。

1. 問題の内容

$xy$ 平面において、連立不等式

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\begin{cases}

x^2 + y^2 \le 1 \\

\frac{x^2}{3} + y^2 \le 1

\end{cases}

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の表す領域の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた連立不等式は、それぞれ円と楕円を表しています。

$x^2 + y^2 \le 1$ は、中心が原点 $(0,0)$ で半径が $1$ の円の内部を表します。

$\frac{x^2}{3} + y^2 \le 1$ は、中心が原点 $(0,0)$ で、$x$ 軸方向に $\sqrt{3}$、$y$ 軸方向に $1$ の楕円の内部を表します。

これらの不等式を同時に満たす領域は、円と楕円の共通部分です。

$x^2 + y^2 = 1$ と $\frac{x^2}{3} + y^2 = 1$ の交点を求めます。

$y^2 = 1 - x^2$ を $\frac{x^2}{3} + y^2 = 1$ に代入すると、

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\frac{x^2}{3} + 1 - x^2 = 1

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\frac{x^2}{3} - x^2 = 0

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x^2 \left(\frac{1}{3} - 1\right) = 0

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x^2 \left(-\frac{2}{3}\right) = 0

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したがって、$x = 0$ です。

$x = 0$ を $x^2 + y^2 = 1$ に代入すると、$y^2 = 1$ となり、$y = \pm 1$ です。

よって、交点は $(0, 1)$ と $(0, -1)$ です。

円 $x^2 + y^2 \le 1$ は楕円 $\frac{x^2}{3} + y^2 \le 1$ の内側に完全に含まれているため、連立不等式を満たす領域は円 $x^2 + y^2 \le 1$ そのものです。

したがって、求める面積は、半径 $1$ の円の面積に等しく、

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\pi \cdot 1^2 = \pi

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となります。

3. 最終的な答え

$\pi$