円 $(x-1)^2 + y^2 = 8$ と直線 $y = x + m$ が共有点を持たないとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

円 $(x-1)^2 + y^2 = 8$ と直線 $y = x + m$ が共有点を持たないとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

円の中心と直線の距離が、円の半径よりも大きければ、円と直線は共有点を持たない。

まず、円 $(x-1)^2 + y^2 = 8$ の中心の座標と半径を求める。

中心の座標は $(1, 0)$ であり、半径は $r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ である。

次に、点 $(1, 0)$ と直線 $y = x + m$ の距離 $d$ を求める。

直線は $x - y + m = 0$ と変形できるので、点と直線の距離の公式より、

$d = \frac{|1 - 0 + m|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|1 + m|}{\sqrt{2}}$

円と直線が共有点を持たないための条件は、$d > r$ である。

したがって、

$\frac{|1 + m|}{\sqrt{2}} > 2\sqrt{2}$

$|1 + m| > 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$

$|1 + m| > 4$

絶対値を外すと、

$1 + m > 4$ または $1 + m < -4$

$m > 3$ または $m < -5$

3. 最終的な答え

$m < -5$, $m > 3$