$xy$平面において、連立不等式 $x^2 + \frac{y^2}{3} \leq 1$ $\frac{x^2}{3} + y^2 \leq 1$ の表す領域の面積を求める。

1. 問題の内容

$xy$平面において、連立不等式

$x^2 + \frac{y^2}{3} \leq 1$

$\frac{x^2}{3} + y^2 \leq 1$

の表す領域の面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、2つの不等式が表す領域を図示する。

$x^2 + \frac{y^2}{3} \leq 1$ は楕円 $x^2 + \frac{y^2}{3} = 1$ の内部を表し、

$\frac{x^2}{3} + y^2 \leq 1$ は楕円 $\frac{x^2}{3} + y^2 = 1$ の内部を表す。

これらの楕円の交点を求める。

$x^2 + \frac{y^2}{3} = 1$

$\frac{x^2}{3} + y^2 = 1$

第一式を3倍すると $3x^2 + y^2 = 3$

第二式から $y^2 = 1 - \frac{x^2}{3}$

これを第一式に代入すると $3x^2 + 1 - \frac{x^2}{3} = 3$

$\frac{8}{3}x^2 = 2$

$x^2 = \frac{3}{4}$

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ を $y^2 = 1 - \frac{x^2}{3}$ に代入すると

$y^2 = 1 - \frac{3/4}{3} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、2つの楕円の交点は $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$ の4点である。

求める面積は、2つの楕円の共通部分である。

第一象限にある共通部分の面積を計算し、それを4倍することで全体の面積を求める。

第一象限の共通部分は、$x^2 + \frac{y^2}{3} \leq 1$ と $\frac{x^2}{3} + y^2 \leq 1$ の両方を満たす領域である。

$0 \leq x \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$ の範囲では、$y = \sqrt{3(1-x^2)}$ と $y = \sqrt{1 - \frac{x^2}{3}}$ のうち、$\sqrt{1 - \frac{x^2}{3}}$ が小さい。

$\frac{\sqrt{3}}{2} \leq x \leq \sqrt{3}$ の範囲では、$y = \sqrt{3(1-x^2)}$ の方が小さい。

よって、第一象限の共通部分の面積は

$\int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{3(1-x^2)} dx + \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\sqrt{3}} \sqrt{1-\frac{x^2}{3}}dx$

しかし、ここでは図形の対称性を利用して、簡単に面積を求めることを考える。

2つの楕円は $y=x$ に関して対称であるため、全体の面積は、$x^2+\frac{y^2}{3} \le 1$の面積から、共通部分以外の部分の面積を引いたものと考えることができる。

$x^2+\frac{y^2}{3} = 1$ の面積は $\pi \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}\pi$.

$\frac{x^2}{3}+y^2 = 1$ の面積も同様に $\pi \cdot \sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{3}\pi$.

共通部分の面積をSとすると、全体の面積を求める代わりに、Sを直接求めることを目指す。

Sは4つの合同な領域に分割できる。第一象限の領域をS1とすると、$S = 4S_1$.

$S_1$は$\int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^2}{3}} dx$で計算できる。

これは $\frac{x}{\sqrt{3}} = \sin \theta$とおくと，$x=\sqrt{3} \sin \theta$. $dx = \sqrt{3}\cos \theta d\theta$

$x=0$のとき$\theta=0$. $x=\frac{\sqrt{3}}{2}$のとき、$\sin \theta = \frac{1}{2}$なので$\theta=\frac{\pi}{6}$.

$\int_0^{\frac{\pi}{6}} \sqrt{1 - \sin^2\theta} \cdot \sqrt{3}\cos \theta d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{6}} \sqrt{3}\cos^2 \theta d\theta = \sqrt{3}\int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{1+\cos(2\theta)}{2} d\theta$

$= \sqrt{3} [\frac{\theta}{2} + \frac{\sin(2\theta)}{4}]_0^{\frac{\pi}{6}} = \sqrt{3} (\frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{8}) = \frac{\sqrt{3}\pi}{12} + \frac{3}{8}$.

$S = 4S_1 = \frac{\sqrt{3}\pi}{3} + \frac{3}{2}$.

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{3}\pi}{3} + \frac{3}{2}$