直角三角形ABCにおいて、∠C = 90°、∠A = θ、AB = a とする。頂点Cから辺ABに下ろした垂線をCDとするとき、次の線分の長さを a, θを用いて表せ。 (1) AC (2) AD (3) CD (4) BD

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、∠C = 90°、∠A = θ、AB = a とする。頂点Cから辺ABに下ろした垂線をCDとするとき、次の線分の長さを a, θを用いて表せ。

(1) AC

(2) AD

(3) CD

(4) BD

2. 解き方の手順

(1) ACの長さ

三角形ABCにおいて、$\cos{\theta} = \frac{AC}{AB}$であるから、

$AC = AB \cos{\theta}$

$AC = a \cos{\theta}$

(2) ADの長さ

三角形ADCにおいて、$\cos{\theta} = \frac{AD}{AC}$であるから、

$AD = AC \cos{\theta}$

(1)の結果より、$AC = a \cos{\theta}$なので、

$AD = (a \cos{\theta}) \cos{\theta}$

$AD = a \cos^2{\theta}$

(3) CDの長さ

三角形ADCにおいて、$\sin{\theta} = \frac{CD}{AC}$であるから、

$CD = AC \sin{\theta}$

(1)の結果より、$AC = a \cos{\theta}$なので、

$CD = (a \cos{\theta}) \sin{\theta}$

$CD = a \sin{\theta} \cos{\theta}$

$CD = \frac{1}{2}a \sin{2\theta}$

(4) BDの長さ

$BD = AB - AD$

$BD = a - a \cos^2{\theta}$

$BD = a(1 - \cos^2{\theta})$

$BD = a \sin^2{\theta}$

3. 最終的な答え

(1) AC = $a \cos{\theta}$

(2) AD = $a \cos^2{\theta}$

(3) CD = $a \sin{\theta} \cos{\theta}$ = $\frac{1}{2}a \sin{2\theta}$

(4) BD = $a \sin^2{\theta}$