座標空間内に2点A(1, 2, 0)とB(2, 3, -1)があります。直線$l$はAとBを通る直線です。点Pの座標は$P(t, -t, 3t)$で与えられます。直線$l$上に点Qがあり、線分PQと直線$l$は直交します。 (ア) 点Qの座標を$t$を用いて表しなさい。 (イ) $t$を変化させるとき、線分PQの長さが最小になるような$t$の値を求めなさい。

1. 問題の内容

座標空間内に2点A(1, 2, 0)とB(2, 3, -1)があります。直線$l$はAとBを通る直線です。点Pの座標は$P(t, -t, 3t)$で与えられます。直線$l$上に点Qがあり、線分PQと直線$l$は直交します。

(ア) 点Qの座標を$t$を用いて表しなさい。

(イ) $t$を変化させるとき、線分PQの長さが最小になるような$t$の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

(ア)

まず、直線$l$の方向ベクトル$\vec{d}$を求めます。

$\vec{d} = \vec{AB} = (2-1, 3-2, -1-0) = (1, 1, -1)$

次に、直線$l$上の点をパラメータ表示します。点Aを基準にすると、直線$l$上の任意の点Qは、ある実数$s$を用いて以下のように表されます。

$\vec{OQ} = \vec{OA} + s\vec{d} = (1, 2, 0) + s(1, 1, -1) = (1+s, 2+s, -s)$

したがって、点Qの座標は$Q(1+s, 2+s, -s)$となります。

次に、ベクトル$\vec{PQ}$を求めます。

$\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = (1+s-t, 2+s+t, -s-3t)$

線分PQと直線$l$が直交するため、ベクトル$\vec{PQ}$と方向ベクトル$\vec{d}$の内積は0になります。

$\vec{PQ} \cdot \vec{d} = (1+s-t)(1) + (2+s+t)(1) + (-s-3t)(-1) = 0$

$1+s-t+2+s+t+s+3t = 0$

$3s+3t+3 = 0$

$s+t+1 = 0$

$s = -t-1$

したがって、点Qの座標は

$Q(1+(-t-1), 2+(-t-1), -(-t-1)) = Q(-t, 1-t, t+1)$

(イ)

線分PQの長さを最小にする$t$の値を求めます。

$PQ^2 = (t-(-t))^2 + (-t-(1-t))^2 + (3t-(t+1))^2$

$PQ^2 = (2t)^2 + (-1)^2 + (2t-1)^2$

$PQ^2 = 4t^2 + 1 + 4t^2 - 4t + 1$

$PQ^2 = 8t^2 - 4t + 2$

$PQ^2$を最小にする$t$を求めるために、平方完成を行います。

$PQ^2 = 8(t^2 - \frac{1}{2}t) + 2$

$PQ^2 = 8(t^2 - \frac{1}{2}t + \frac{1}{16}) - 8(\frac{1}{16}) + 2$

$PQ^2 = 8(t - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{2} + 2$

$PQ^2 = 8(t - \frac{1}{4})^2 + \frac{3}{2}$

$PQ^2$が最小になるのは、$t = \frac{1}{4}$のときです。したがって、線分PQの長さが最小になる$t$の値は$\frac{1}{4}$です。

3. 最終的な答え

(ア) 点Qの座標: $Q(-t, 1-t, t+1)$

(イ) 線分PQの長さが最小となる$t$の値: $t = \frac{1}{4}$