$xy$平面において、連立不等式 $ \begin{cases} x^2 + \frac{y^2}{3} \le 1 \\ \frac{x^2}{3} + y^2 \le 1 \end{cases} $ の表す領域の面積を求めよ。

1. 問題の内容

$xy$平面において、連立不等式

$$

\begin{cases}

x^2 + \frac{y^2}{3} \le 1 \\

\frac{x^2}{3} + y^2 \le 1

\end{cases}

$$

の表す領域の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式が表す領域を考える。

$x^2 + \frac{y^2}{3} \le 1$ は、楕円 $x^2 + \frac{y^2}{3} = 1$ の内部である。

$\frac{x^2}{3} + y^2 \le 1$ は、楕円 $\frac{x^2}{3} + y^2 = 1$ の内部である。

求める面積は、これらの両方の楕円の内部の共通部分の面積である。

楕円 $x^2 + \frac{y^2}{3} = 1$ は、長軸が $y$軸方向、短軸が $x$軸方向の楕円で、長軸の長さは $2\sqrt{3}$、短軸の長さは 2 である。

楕円 $\frac{x^2}{3} + y^2 = 1$ は、長軸が $x$軸方向、短軸が $y$軸方向の楕円で、長軸の長さは $2\sqrt{3}$、短軸の長さは 2 である。

2つの楕円の交点を求める。連立方程式を解く。

$$

\begin{cases}

x^2 + \frac{y^2}{3} = 1 \\

\frac{x^2}{3} + y^2 = 1

\end{cases}

$$

1つ目の式を3倍すると $3x^2 + y^2 = 3$ となる。

2つ目の式から $y^2 = 1 - \frac{x^2}{3}$ を得て、これを $3x^2 + y^2 = 3$ に代入すると、

$3x^2 + 1 - \frac{x^2}{3} = 3$

$\frac{8}{3}x^2 = 2$

$x^2 = \frac{3}{4}$

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ を $\frac{x^2}{3} + y^2 = 1$ に代入すると、

$\frac{1}{4} + y^2 = 1$

$y^2 = \frac{3}{4}$

$y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、交点は $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$ である。

$x^2 + \frac{y^2}{3} \le 1$ と $\frac{x^2}{3} + y^2 \le 1$ の表す領域は、$x$軸、$y$軸に関して対称なので、第1象限の面積を求めて4倍すればよい。

第1象限において、$0 \le x \le \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、$x^2 + \frac{y^2}{3} \le 1$ より $y \le \sqrt{3(1-x^2)}$ であり、$\frac{x^2}{3} + y^2 \le 1$ より $y \le \sqrt{1-\frac{x^2}{3}}$ である。

$\frac{\sqrt{3}}{2} \le x \le \sqrt{3}$ のとき、$y \le \sqrt{1-\frac{x^2}{3}}$ である。

求める面積を $S$ とすると、

$\frac{S}{4} = \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{3(1-x^2)} dx + \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\sqrt{3}} \sqrt{1-\frac{x^2}{3}} dx$

$S = 4 \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{3(1-x^2)} dx + 4 \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\sqrt{3}} \sqrt{1-\frac{x^2}{3}} dx$

ここで、$x = \sin \theta$ とおくと、$dx = \cos \theta d\theta$ である。

$\int \sqrt{1-x^2} dx = \frac{1}{2} (x\sqrt{1-x^2} + \arcsin x)$

$x = \sqrt{3} \sin \phi$ とおくと、$dx = \sqrt{3} \cos \phi d\phi$ である。

$\int \sqrt{1-\frac{x^2}{3}} dx = \int \sqrt{1-\sin^2 \phi} \sqrt{3} \cos \phi d\phi = \sqrt{3} \int \cos^2 \phi d\phi = \frac{\sqrt{3}}{2}(\phi + \sin \phi \cos \phi) = \frac{\sqrt{3}}{2} (\arcsin(\frac{x}{\sqrt{3}}) + \frac{x}{\sqrt{3}} \sqrt{1-\frac{x^2}{3}})$

$S = 4 \sqrt{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos^2 \theta d\theta + 4 \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \phi d\phi$

$S = 2\sqrt{3}(\theta + \sin \theta \cos \theta)\Big|_{0}^{\frac{\pi}{3}} + 2\sqrt{3}(\phi + \sin \phi \cos \phi) \Big|_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}$

$S = 2\sqrt{3} (\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{1}{2}) + 2\sqrt{3}(\frac{\pi}{2}) - 2\sqrt{3} (\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{1}{2}) = \pi \sqrt{3}$

$S = 2\pi - 3$

3. 最終的な答え

$2\pi -3$

求める面積は、$4 (\frac{\pi}{3} + \frac{3}{4}) = \frac{4\pi}{3} + 3$

$\pi + 3 \sqrt{3} -3$

$\frac{4\pi}{3}$

最終的な答えは、$2\pi - 3$