底面の半径が1、高さが1の直円柱がある。底面の中心Oを通り、底面とのなす角が45度の平面でこの円柱を2つの部分に分けるとき、小さいほうの立体の体積を求める。

1. 問題の内容

底面の半径が1、高さが1の直円柱がある。底面の中心Oを通り、底面とのなす角が45度の平面でこの円柱を2つの部分に分けるとき、小さいほうの立体の体積を求める。

2. 解き方の手順

小さい方の立体は、底面が半径1の半円で、高さが底面の半径と同じ1の立体の一部となる。

この立体の体積を積分で求める。底面に垂直な平面で切断したときの断面積を考える。底面の中心からの距離を$x$とすると、断面積$S(x)$は、$x$から1までの弦の長さを底辺とし、高さが$x$に等しい直角三角形の面積となる。

まず、弦の長さを求める。半径1の円において、中心から距離$x$にある弦の長さは、$2\sqrt{1-x^2}$である。

したがって、断面積$S(x)$は、

$S(x) = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{1-x^2} \times x = x\sqrt{1-x^2}$

小さい方の立体の体積$V$は、以下の積分で求められる。

$V = \int_{0}^{1} S(x) dx = \int_{0}^{1} x\sqrt{1-x^2} dx$

ここで、$u = 1 - x^2$とおくと、$du = -2x dx$となる。$x=0$のとき$u=1$, $x=1$のとき$u=0$である。

$V = \int_{1}^{0} \sqrt{u} (-\frac{1}{2}) du = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \sqrt{u} du = \frac{1}{2} [\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times (1^{\frac{3}{2}} - 0^{\frac{3}{2}}) = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

求める体積は$\frac{1}{3}$である。