$\theta$を媒介変数として、以下の式で表されるサイクロイド曲線の$\theta = \frac{\pi}{3}$における接線の方程式を求める問題です。 $$ \begin{cases} x = \theta - \sin \theta \\ y = 1 - \cos \theta \end{cases} $$

1. 問題の内容

$\theta$を媒介変数として、以下の式で表されるサイクロイド曲線の$\theta = \frac{\pi}{3}$における接線の方程式を求める問題です。

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\begin{cases}

x = \theta - \sin \theta \\

y = 1 - \cos \theta

\end{cases}

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2. 解き方の手順

まず、$\frac{dx}{d\theta}$と$\frac{dy}{d\theta}$を計算します。

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\frac{dx}{d\theta} = 1 - \cos \theta \\

\frac{dy}{d\theta} = \sin \theta

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次に、$\frac{dy}{dx}$を計算します。

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\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} = \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta}

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$\theta = \frac{\pi}{3}$における$\frac{dy}{dx}$の値を計算します。

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\frac{dy}{dx} \Big|_{\theta = \frac{\pi}{3}} = \frac{\sin \frac{\pi}{3}}{1 - \cos \frac{\pi}{3}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}

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$\theta = \frac{\pi}{3}$における$x$座標と$y$座標を計算します。

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x \Big|_{\theta = \frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{3} - \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \\

y \Big|_{\theta = \frac{\pi}{3}} = 1 - \cos \frac{\pi}{3} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

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したがって、接線の方程式は次のようになります。

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y - \frac{1}{2} = \sqrt{3} \left( x - \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right) \\

y = \sqrt{3} x - \sqrt{3} \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \frac{1}{2} \\

y = \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3}\pi}{3} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \\

y = \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3}\pi}{3} + 2

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3. 最終的な答え

$y = \sqrt{3}x - \frac{\sqrt{3}\pi}{3} + 2$