$(x-3y)^5$ をパスカルの三角形を使って展開してください。

1. 問題の内容

$(x-3y)^5$ をパスカルの三角形を使って展開してください。

2. 解き方の手順

まず、パスカルの三角形の5乗の展開に必要な部分を求めます。パスカルの三角形は、各行の両端が1で、それ以外の数は上の行の隣り合う2つの数の和で表されます。

5乗の展開に必要な係数は、パスカルの三角形の6行目（0行目から数えて）に相当し、その係数は1, 5, 10, 10, 5, 1となります。

次に、二項定理 $(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ に従って、 $(x-3y)^5$ を展開します。

この場合、$a = x$、$b = -3y$、$n = 5$ です。

したがって、展開式は次のようになります。

$\binom{5}{0}x^5(-3y)^0 + \binom{5}{1}x^4(-3y)^1 + \binom{5}{2}x^3(-3y)^2 + \binom{5}{3}x^2(-3y)^3 + \binom{5}{4}x^1(-3y)^4 + \binom{5}{5}x^0(-3y)^5$

これを計算すると、

$1 \cdot x^5 \cdot 1 + 5 \cdot x^4 \cdot (-3y) + 10 \cdot x^3 \cdot (9y^2) + 10 \cdot x^2 \cdot (-27y^3) + 5 \cdot x \cdot (81y^4) + 1 \cdot 1 \cdot (-243y^5)$

$= x^5 - 15x^4y + 90x^3y^2 - 270x^2y^3 + 405xy^4 - 243y^5$

3. 最終的な答え

$x^5 - 15x^4y + 90x^3y^2 - 270x^2y^3 + 405xy^4 - 243y^5$