$(2x^2 - \frac{1}{x^3})^5$ の展開式における定数項を求めます。

1. 問題の内容

$(2x^2 - \frac{1}{x^3})^5$ の展開式における定数項を求めます。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開式の一般項を求めます。

一般項は、

$_{5}C_{r} (2x^2)^{5-r} (-\frac{1}{x^3})^r = _{5}C_{r} 2^{5-r} x^{2(5-r)} (-1)^r x^{-3r} = _{5}C_{r} 2^{5-r} (-1)^r x^{10-2r-3r} = _{5}C_{r} 2^{5-r} (-1)^r x^{10-5r}$

となります。

定数項を求めるので、$x$ の指数が 0 になるような $r$ を探します。

$10-5r = 0$

$5r = 10$

$r = 2$

$r=2$ を一般項に代入すると、

$_{5}C_{2} 2^{5-2} (-1)^2 x^{10-5(2)} = _{5}C_{2} 2^3 (-1)^2 x^0 = \frac{5!}{2!3!} \cdot 8 \cdot 1 = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot 8 = 10 \cdot 8 = 80$

3. 最終的な答え

80