与えられた式 $\arctan(x) + \arctan\left(\frac{1}{x}\right)$ (ただし $x \neq 0$) を簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた式 $\arctan(x) + \arctan\left(\frac{1}{x}\right)$ (ただし $x \neq 0$) を簡略化します。

2. 解き方の手順

$\arctan$の加法定理を使います。

$\arctan(a) + \arctan(b) = \arctan\left(\frac{a+b}{1-ab}\right)$

この公式を直接使うと、

$\arctan(x) + \arctan\left(\frac{1}{x}\right) = \arctan\left(\frac{x + \frac{1}{x}}{1 - x \cdot \frac{1}{x}}\right) = \arctan\left(\frac{x + \frac{1}{x}}{1-1}\right)$

これは $1-1=0$ となり定義できません。

別の方法を考えます。

$x > 0$の場合、$\arctan(x)$ と $\arctan\left(\frac{1}{x}\right)$ は共に定義でき、正の値です。

$\tan(\arctan(x)) = x$

$\tan(\arctan\left(\frac{1}{x}\right)) = \frac{1}{x}$

三角関数の恒等式 $\arctan(x) + \arctan\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2}$ ($x > 0$) が成り立ちます。

$x < 0$の場合、$\arctan(x)$ と $\arctan\left(\frac{1}{x}\right)$ は共に定義でき、負の値です。

$\arctan(x) + \arctan\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{\pi}{2}$ ($x < 0$) が成り立ちます。

したがって、

$\arctan(x) + \arctan\left(\frac{1}{x}\right) =

\begin{cases}

\frac{\pi}{2}, & x > 0 \\

-\frac{\pi}{2}, & x < 0

\end{cases}$

3. 最終的な答え

$\arctan(x) + \arctan\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2}$ (if $x > 0$)

$\arctan(x) + \arctan\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{\pi}{2}$ (if $x < 0$)