50人の人にAとBの2問のクイズを出題したところ、Aを正解した人は27人、Bを正解した人は13人、AとBをともに正解した人は4人であった。 (1) AとBの少なくとも一方を正解した人は何人いるか。 (2) AもBも正解しなかった人は何人いるか。 (3) Aだけ正解し、Bは正解しなかった人は何人いるか。

1. 問題の内容

50人の人にAとBの2問のクイズを出題したところ、Aを正解した人は27人、Bを正解した人は13人、AとBをともに正解した人は4人であった。

(1) AとBの少なくとも一方を正解した人は何人いるか。

(2) AもBも正解しなかった人は何人いるか。

(3) Aだけ正解し、Bは正解しなかった人は何人いるか。

2. 解き方の手順

(1) AとBの少なくとも一方を正解した人の人数は、集合の和の公式を用いて求める。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

ここで、$n(A) = 27$, $n(B) = 13$, $n(A \cap B) = 4$であるから、

$n(A \cup B) = 27 + 13 - 4 = 36$

(2) AもBも正解しなかった人の人数は、全体からAとBの少なくとも一方を正解した人の人数を引くことで求める。

全体をUとすると、$n(U) = 50$であり、AもBも正解しなかった人の集合は$(A \cup B)^c$であるから、

$n((A \cup B)^c) = n(U) - n(A \cup B) = 50 - 36 = 14$

(3) Aだけ正解し、Bは正解しなかった人の人数は、Aを正解した人の人数からAとB両方を正解した人の人数を引くことで求める。

Aだけ正解しBは正解しなかった人の集合は$A \cap B^c$であるから、

$n(A \cap B^c) = n(A) - n(A \cap B) = 27 - 4 = 23$

3. 最終的な答え

(1) 36人

(2) 14人

(3) 23人