$(a + 2b - c)^6$ を展開したときの $a^4bc$ の項の係数を求めます。

1. 問題の内容

$(a + 2b - c)^6$ を展開したときの $a^4bc$ の項の係数を求めます。

2. 解き方の手順

多項定理を使って展開します。多項定理とは、

$(x_1 + x_2 + \dots + x_m)^n = \sum_{k_1 + k_2 + \dots + k_m = n} \frac{n!}{k_1!k_2!\dots k_m!} x_1^{k_1}x_2^{k_2} \dots x_m^{k_m}$

というものです。

今回は $x_1 = a$, $x_2 = 2b$, $x_3 = -c$, $n = 6$ とします。

求める係数は $a^4bc$ の項なので、$k_1 = 4$, $x_2 = b$, $x_3 = c$ より $k_2 = 1$, $k_3 = 1$ となります。

この時、$\frac{6!}{4!1!1!} a^4 (2b)^1 (-c)^1 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!} \cdot a^4 \cdot 2b \cdot (-c) = 30 \cdot (-2) \cdot a^4bc = -60 a^4bc$

したがって、$a^4bc$ の係数は -60 です。

3. 最終的な答え

-60