正の整数 $n$ に対して、行列 $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ の $n$ 乗 $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^n$ を求める。

## 問題 6.1

1. 問題の内容

正の整数 $n$ に対して、行列 $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ の $n$ 乗 $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^n$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列を $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ とおく。$A$ を以下のように分解する。

$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 2I + B$

ここで、$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ は単位行列、$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ である。

$B^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0$ (ゼロ行列) であることに注意する。

また、$I$ と $B$ は可換である。すなわち、$IB = BI = B$。

二項定理を用いて、$A^n = (2I + B)^n$ を展開する。

$A^n = (2I + B)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (2I)^{n-k} B^k = \binom{n}{0} (2I)^n B^0 + \binom{n}{1} (2I)^{n-1} B^1 + \binom{n}{2} (2I)^{n-2} B^2 + \dots + \binom{n}{n} (2I)^0 B^n$

$B^2 = 0$ より、$k \ge 2$ に対して $B^k = 0$ なので、上記の和は $k=0, 1$ の項のみが残る。

$A^n = \binom{n}{0} (2I)^n B^0 + \binom{n}{1} (2I)^{n-1} B^1 = (2I)^n + n (2I)^{n-1} B = 2^n I + n 2^{n-1} B$

$A^n = 2^n \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + n 2^{n-1} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ 0 & 2^n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & n 2^{n-1} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2^n & n 2^{n-1} \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} 2^n & n 2^{n-1} \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}$

## 問題 6.2

1. 問題の内容

$n$ 次正則行列 $A$ の転置行列 $^t A$ が正則であり、$(^t A)^{-1} = ^t (A^{-1})$ が成り立つことを証明する。

2. 解き方の手順

$A$ が正則であることから、$A^{-1}$ が存在する。

$(^t A) ^t (A^{-1}) = ^t (A^{-1} A) = ^t I = I$

同様に、

$^t (A^{-1}) (^t A) = ^t (A A^{-1}) = ^t I = I$

したがって、$(^t A)$ の逆行列は $^t (A^{-1})$ である。つまり、$(^t A)^{-1} = ^t (A^{-1})$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$(^t A)^{-1} = ^t (A^{-1})$