数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$があり、$\sum_{k=1}^{n} a_k = n^2$と$\sum_{k=1}^{n} b_k = 2^n$を満たします。このとき、以下の和を求めてください。 (1) $\sum_{k=1}^{n} (a_k)^2$ (2) $\sum_{k=1}^{n} (b_k)^2$ (3) $\sum_{k=1}^{n} a_k b_k$

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$があり、$\sum_{k=1}^{n} a_k = n^2$と$\sum_{k=1}^{n} b_k = 2^n$を満たします。このとき、以下の和を求めてください。

(1) $\sum_{k=1}^{n} (a_k)^2$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (b_k)^2$

(3) $\sum_{k=1}^{n} a_k b_k$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{n} (a_k)^2$ を求める。

まず、$a_k$を求めます。

$a_1 = \sum_{k=1}^{1} a_k = 1^2 = 1$

$n \geq 2$ のとき、

$a_n = \sum_{k=1}^{n} a_k - \sum_{k=1}^{n-1} a_k = n^2 - (n-1)^2 = n^2 - (n^2 - 2n + 1) = 2n - 1$

これは $n=1$ のときも成り立ちます。よって、$a_n = 2n - 1$

$\sum_{k=1}^{n} (a_k)^2 = \sum_{k=1}^{n} (2k - 1)^2 = \sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 4k + 1) = 4\sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$= 4\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4\frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n$

$= \frac{n}{3} [2(n+1)(2n+1) - 6(n+1) + 3] = \frac{n}{3} [2(2n^2+3n+1) - 6n - 6 + 3]$

$= \frac{n}{3} [4n^2 + 6n + 2 - 6n - 3] = \frac{n}{3} (4n^2 - 1) = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (b_k)^2$ を求める。

まず、$b_k$を求めます。

$b_1 = \sum_{k=1}^{1} b_k = 2^1 = 2$

$n \geq 2$ のとき、

$b_n = \sum_{k=1}^{n} b_k - \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 2^n - 2^{n-1} = 2^{n-1}(2 - 1) = 2^{n-1}$

これは $n=1$ のときも成り立ちます。よって、$b_n = 2^{n-1}$

$\sum_{k=1}^{n} (b_k)^2 = \sum_{k=1}^{n} (2^{k-1})^2 = \sum_{k=1}^{n} 2^{2k-2} = \sum_{k=1}^{n} 4^{k-1} = \sum_{k=0}^{n-1} 4^k = \frac{1(4^n - 1)}{4-1} = \frac{4^n - 1}{3}$

(3) $\sum_{k=1}^{n} a_k b_k$ を求める。

$\sum_{k=1}^{n} a_k b_k = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)2^{k-1} = \sum_{k=1}^{n} 2k \cdot 2^{k-1} - \sum_{k=1}^{n} 2^{k-1} = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^k - \sum_{k=0}^{n-1} 2^k$

ここで、 $S = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^k$ を計算する。

$S = 1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \dots + n \cdot 2^n$

$2S = 1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + \dots + (n-1) \cdot 2^n + n \cdot 2^{n+1}$

$S - 2S = 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^n - n \cdot 2^{n+1} = \sum_{k=1}^{n} 2^k - n \cdot 2^{n+1} = \frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} - n \cdot 2^{n+1}$

$-S = 2^{n+1} - 2 - n \cdot 2^{n+1} = (1-n)2^{n+1} - 2$

$S = (n-1)2^{n+1} + 2$

$\sum_{k=1}^{n} a_k b_k = S - \sum_{k=0}^{n-1} 2^k = (n-1)2^{n+1} + 2 - \frac{1(2^n - 1)}{2 - 1} = (n-1)2^{n+1} + 2 - (2^n - 1)$

$= 2(n-1)2^n + 3 - 2^n = (2n - 2 - 1)2^n + 3 = (2n - 3)2^n + 3$

3. 最終的な答え

(1) $\sum_{k=1}^{n} (a_k)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (b_k)^2 = \frac{4^n - 1}{3}$

(3) $\sum_{k=1}^{n} a_k b_k = (2n - 3)2^n + 3$