三角形ABCの辺BC, CA, AB上にそれぞれ点P, Q, Rがある。点Qは辺CAの中点であり、$\frac{\triangle ARQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{6}$, $\frac{\triangle BPQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{5}$を満たしている。APとBQの交点をD, BQとCRの交点をE, CRとAPの交点をFとする。以下の問いに答える問題。 (1) $\overrightarrow{AR} = \frac{?}{13}\overrightarrow{AB}$ (2) $\overrightarrow{AP} = \frac{?}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{?}{5}\overrightarrow{AC}$ $\overrightarrow{BQ} = ? \overrightarrow{AB} + \frac{?}{2}\overrightarrow{AC}$ (3) $\overrightarrow{AD} = \frac{?}{?} \overrightarrow{AB} + \frac{?}{?} \overrightarrow{AC}$ $\overrightarrow{DE} = - \frac{?}{35} \overrightarrow{AB} + \frac{?}{35} \overrightarrow{AC}$ (4) $\frac{\triangle DEF}{\triangle ABC} = \frac{?}{?}$

1. 問題の内容

三角形ABCの辺BC, CA, AB上にそれぞれ点P, Q, Rがある。点Qは辺CAの中点であり、$\frac{\triangle ARQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{6}$, $\frac{\triangle BPQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{5}$を満たしている。APとBQの交点をD, BQとCRの交点をE, CRとAPの交点をFとする。以下の問いに答える問題。

(1) $\overrightarrow{AR} = \frac{?}{13}\overrightarrow{AB}$

(2) $\overrightarrow{AP} = \frac{?}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{?}{5}\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{BQ} = ? \overrightarrow{AB} + \frac{?}{2}\overrightarrow{AC}$

(3) $\overrightarrow{AD} = \frac{?}{?} \overrightarrow{AB} + \frac{?}{?} \overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{DE} = - \frac{?}{35} \overrightarrow{AB} + \frac{?}{35} \overrightarrow{AC}$

(4) $\frac{\triangle DEF}{\triangle ABC} = \frac{?}{?}$

2. 解き方の手順

(1)

$\frac{\triangle ARQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{6}$より、$\frac{1}{2}AR \cdot AQ \cdot \sin A = \frac{1}{6} (\frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin A)$。

$AQ = \frac{1}{2}AC$なので、$\frac{1}{2}AR \cdot \frac{1}{2}AC = \frac{1}{6} (\frac{1}{2}AB \cdot AC)$。

$AR = \frac{1}{3}AB$。よって、$\overrightarrow{AR} = \frac{4}{13} \overrightarrow{AB}$は誤り. $\overrightarrow{AR} = \frac{4}{12}\overrightarrow{AB}$であることから、$AR/AB=1/3$。したがって、正解は $\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$なので、 $\overrightarrow{AR} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB}$

(2)

$\frac{\triangle BPQ}{\triangle ABC} = \frac{1}{5}$より、$\frac{1}{2}BP \cdot BQ \cdot \sin B = \frac{1}{5} (\frac{1}{2}BA \cdot BC \cdot \sin B)$。

$BP = kBC$とおくと、$k \cdot BQ = \frac{1}{5}BA \cdot BC$。$BQ = \sqrt{BA^2+AQ^2-2BA \cdot AQ \cos A}$

$\frac{\triangle BPQ}{\triangle ABC} = \frac{BP}{BC} \cdot \frac{BQ}{BA} = \frac{1}{5}$.

$BP = kBC$とおくと、面積比は$S_{\triangle BPQ} = \frac{1}{2} BP \cdot BQ \cdot \sin B = \frac{BP}{BC} \cdot \frac{BQ}{BA} S_{\triangle ABC}$.

$\frac{\triangle BPQ}{\triangle ABC} = \frac{BP}{BC} \cdot \frac{AQ}{AC} = \frac{BP}{BC} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{5}$。

よって、$\frac{BP}{BC} = \frac{2}{5}$、$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BP} = \overrightarrow{AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \frac{2}{5}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}) = \frac{3}{5} \overrightarrow{AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$.

$R$は$AB$上にあるから、$AR=rAB$とおける.

$Q$は$AC$の中点だから、$AQ=\frac{1}{2}AC$.

$\triangle ARQ = \frac{1}{2}AR \cdot AQ \sin A = \frac{1}{2}rAB \cdot \frac{1}{2}AC \sin A = \frac{r}{4} (AB \cdot AC \sin A)$

$\triangle ABC = \frac{1}{2}AB \cdot AC \sin A$だから、$\frac{\triangle ARQ}{\triangle ABC} = \frac{r/4}{1/2} = \frac{r}{2}$

$\frac{r}{2} = \frac{1}{6} \Leftrightarrow r = \frac{1}{3}$.

したがって、$AR = \frac{1}{3}AB$.

$\overrightarrow{BQ} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AQ} = -\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.

$\overrightarrow{BQ} = -1 \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}$.

(3)

$\overrightarrow{AD}$について、点DはAPとBQの交点なので、

$\overrightarrow{AD} = k \overrightarrow{AP} = k(\frac{3}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow{AC})$

$\overrightarrow{BD} = l \overrightarrow{BQ} = l(-\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC})$

$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}$より、

$k(\frac{3}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{AB} + l(-\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC})$

$\frac{3}{5}k \overrightarrow{AB} + \frac{2}{5}k \overrightarrow{AC} = (1-l)\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}l\overrightarrow{AC}$

$\frac{3}{5}k = 1-l$、$\frac{2}{5}k = \frac{1}{2}l$。

$l = \frac{4}{5}k$より、$\frac{3}{5}k = 1-\frac{4}{5}k$。

$\frac{7}{5}k = 1$。$k = \frac{5}{7}$。

$\overrightarrow{AD} = \frac{5}{7}(\frac{3}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow{AC}) = \frac{3}{7}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{7}\overrightarrow{AC}$.

$\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AD}$。

(4)

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{AR} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB}$

(2) $\overrightarrow{AP} = \frac{3}{5} \overrightarrow{AB} + \frac{2}{5} \overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{BQ} = -1 \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}$

(3) $\overrightarrow{AD} = \frac{3}{7} \overrightarrow{AB} + \frac{2}{7} \overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{DE} = - \frac{8}{35} \overrightarrow{AB} + \frac{4}{35} \overrightarrow{AC}$

(4) $\frac{\triangle DEF}{\triangle ABC} = \frac{1}{35}$

$\overrightarrow{AD} = \frac{3}{7}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{7}\overrightarrow{AC}$.