等差数列 $\{a_n\}$ が与えられており、第3項が8、第10項が29です。初項を $a$、公差を $d$ とするとき、以下の問題を解きます。 (1) $a$ と $d$ の値を求めます。 (2) 和 $2^{a_1} + 2^{a_2} + \dots + 2^{a_n}$ を $n$ の式で表します。 (3) 200以下の $a_n$ のうち偶数であるものの和を求めます。

1. 問題の内容

等差数列 $\{a_n\}$ が与えられており、第3項が8、第10項が29です。初項を $a$、公差を $d$ とするとき、以下の問題を解きます。

(1) $a$ と $d$ の値を求めます。

(2) 和 $2^{a_1} + 2^{a_2} + \dots + 2^{a_n}$ を $n$ の式で表します。

(3) 200以下の $a_n$ のうち偶数であるものの和を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

等差数列の一般項は $a_n = a + (n-1)d$ で表されます。

第3項が8であることから、

$a_3 = a + 2d = 8$

第10項が29であることから、

$a_{10} = a + 9d = 29$

これらの連立方程式を解きます。

$a + 9d - (a + 2d) = 29 - 8$

$7d = 21$

$d = 3$

$a + 2(3) = 8$

$a + 6 = 8$

$a = 2$

(2)

$a_n = 2 + (n-1)3 = 3n - 1$

$2^{a_1} + 2^{a_2} + \dots + 2^{a_n} = \sum_{k=1}^{n} 2^{a_k} = \sum_{k=1}^{n} 2^{3k-1}$

これは等比数列の和なので、

$\sum_{k=1}^{n} 2^{3k-1} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n} 2^{3k} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} 8^k = \frac{1}{2} \cdot \frac{8(8^n - 1)}{8-1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8(8^n - 1)}{7} = \frac{4(8^n - 1)}{7}$

(3)

$a_n = 3n - 1 \le 200$ を満たす $n$ の範囲を求めます。

$3n \le 201$

$n \le 67$

したがって、$a_1, a_2, \dots, a_{67}$ のうち偶数であるものを探します。

$a_n = 3n - 1$ が偶数となるのは、$3n$ が奇数となる時、つまり、$n$ が奇数の時です。

$n = 1, 3, 5, \dots, 67$

$n = 2k-1$ とおくと、$2k-1 \le 67$ より $2k \le 68$, $k \le 34$ なので、奇数の $n$ は $34$ 個あります。

偶数となる $a_n$ は、$a_1 = 2$, $a_3 = 8$, $a_5 = 14$, $\dots$, $a_{67} = 3(67) - 1 = 200$

これは初項が2、公差が6、項数が34の等差数列なので、その和は

$\frac{34}{2}(2 + 200) = 17(202) = 3434$

3. 最終的な答え

(1) $a=2, d=3$

(2) $\frac{4(8^n - 1)}{7}$

(3) 3434