与えられた微分方程式 $(x-1)^2 dx = dy$ を変数分離形として解き、初期条件 $y(0) = 1$ を満たす特殊解を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $(x-1)^2 dx = dy$ を変数分離形として解き、初期条件 $y(0) = 1$ を満たす特殊解を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式を積分します。

$\int (x-1)^2 dx = \int dy$

左辺を計算します。$u = x-1$ と置くと、$du = dx$ なので、

$\int (x-1)^2 dx = \int u^2 du = \frac{1}{3} u^3 + C_1 = \frac{1}{3} (x-1)^3 + C_1$

右辺を計算します。

$\int dy = y + C_2$

したがって、

$\frac{1}{3} (x-1)^3 + C_1 = y + C_2$

$C = C_2 - C_1$ と置くと、一般解は次のようになります。

$y = \frac{1}{3} (x-1)^3 + C$

次に、初期条件 $y(0) = 1$ を用いて特殊解を求めます。

$x=0$ のとき $y=1$ なので、

$1 = \frac{1}{3} (0-1)^3 + C$

$1 = \frac{1}{3} (-1)^3 + C$

$1 = -\frac{1}{3} + C$

$C = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$

したがって、特殊解は次のようになります。

$y = \frac{1}{3} (x-1)^3 + \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$y = \frac{1}{3} (x-1)^3 + \frac{4}{3}$